Flächeninhalt verstehen und berechnen
Der Flächeninhalt zeigt, wie viel Platz eine Figur bedeckt. Du zählst Kästchen und berechnest Rechteck, Dreieck, Kreis und zusammengesetzte Figuren.
Kurz gesagt
Der Flächeninhalt A gibt an, wie viele Einheitsquadrate eine ebene Figur bedeckt. Er steht immer in einer Flächeneinheit wie cm² oder m². Für ein Rechteck gilt A = a \cdot b, zum Beispiel 8 cm · 3 cm = 24 cm².
Wie viele Fliesen brauchst du für den Badboden? Wie viel Rasen passt in den Garten? Beide Fragen zielen auf den Flächeninhalt. Er sagt dir, wie viel Platz eine ebene Figur bedeckt. Du misst ihn mit Einheitsquadraten und gibst ihn in einer quadrierten Längeneinheit wie \mathrm{cm^2} oder \mathrm{m^2} an.
Deine Lernziele
Stell dir vor, du möchtest einen Boden vollständig mit gleich großen quadratischen Fliesen bedecken. Die Anzahl der benötigten Fliesen beschreibt den Flächeninhalt. Ein Einheitsquadrat hat die Seitenlänge einer Längeneinheit. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1\,\mathrm{cm} bedeckt 1\,\mathrm{cm^2}. Die hochgestellte 2 zeigt: Es wurden zwei Längenrichtungen miteinander verbunden, Länge und Breite.
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt ist die Größe der Fläche, die eine zweidimensionale Figur einschließt. Als Formelzeichen wird meist A verwendet.
Merke: Zu einem Flächeninhalt gehört immer eine Flächeneinheit, zum Beispiel \mathrm{mm^2}, \mathrm{cm^2}, \mathrm{m^2} oder \mathrm{km^2}.
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Auf einem Quadratgitter zählt jedes ganze Kästchen als ein Einheitsquadrat. Teilkästchen darfst du passend zusammensetzen: Zwei Hälften ergeben ein ganzes Kästchen. Zwei anders geformte Figuren können denselben Flächeninhalt besitzen. Entscheidend ist, wie viele gleich große Einheitsquadrate sie bedecken, nicht wie sie aussehen.
Beispiel: Gitterfigur aus ganzen und halben Kästchen
- 1Die Figur bedeckt 5 ganze und 4 halbe Kästchen.
- 2Ganze Kästchen: 5 Einheitsquadrate
- 3Halbe Kästchen: 4 : 2 = 2 Einheitsquadrate
- 4Zusammen: 5 + 2 = 7 Einheitsquadrate
- 5Ist jedes Kästchen 1 cm breit, gilt A = 7\,\mathrm{cm^2}.
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Formeln sind abgekürzte Zählwege. Beim Rechteck bedeutet „Länge mal Breite“ dasselbe wie „Anzahl der Spalten mal Anzahl der Reihen“. Beim Dreieck steht die zugehörige Höhe senkrecht auf der gewählten Grundseite. Der Faktor \frac{1}{2} passt, weil zwei gleiche Dreiecke zusammen ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe bilden. Beim Kreis ist der Radius die Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand. Die Kreiszahl \pi sprichst du „Pi“ aus; für Näherungsrechnungen kannst du \pi \approx 3{,}1416 verwenden. Ein Ergebnis wie 4\pi\,\mathrm{cm^2} ist exakt, die Dezimalzahl dazu nur eine Näherung.
| Figur | Benötigte Größen | Flächeninhalt |
|---|---|---|
| Quadrat | Seitenlänge a | A = a^2 |
| Rechteck | Seitenlängen a und b | A = a \cdot b |
| Dreieck | Grundseite g und zugehörige Höhe h | A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h |
| Kreis | Radius r | A = \pi \cdot r^2 |
Beispiel: Rechteck, Dreieck und Kreis
- 1Rechteck mit 3 Reihen zu je 8 Kästchen: A = 8\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm} = 24\,\mathrm{cm^2}
- 2Dreieck mit g = 6\,\mathrm{cm} und h = 5\,\mathrm{cm}: A = \frac{1}{2} \cdot 6\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} = 15\,\mathrm{cm^2}
- 3Kreis mit r = 2\,\mathrm{cm}: A = \pi \cdot (2\,\mathrm{cm})^2 = 4\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 12{,}57\,\mathrm{cm^2}
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Eine komplizierte Figur wird übersichtlich, wenn du sie in bekannte, nicht überlappende Teilfiguren zerlegst. Berechne jede Teilfläche mit der passenden Formel und addiere anschließend. Manchmal ist Ergänzen leichter: Berechne eine große umschließende Fläche und ziehe das ausgeschnittene Stück ab. Auch dann musst du klar erkennen, welche Flächen dazugehören und welche fehlen.
Beispiel: Rechteck mit angesetztem Dreieck
- 1Rechteck 8 cm mal 3 cm, Dreieck mit g = 3\,\mathrm{cm} und h = 4\,\mathrm{cm}, ohne Überlappung
- 2Rechteck: A_1 = 8\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm} = 24\,\mathrm{cm^2}
- 3Dreieck: A_2 = \frac{1}{2} \cdot 3\,\mathrm{cm} \cdot 4\,\mathrm{cm} = 6\,\mathrm{cm^2}
- 4Gesamt: A = 24\,\mathrm{cm^2} + 6\,\mathrm{cm^2} = 30\,\mathrm{cm^2}
Merke: Zeichne Zerlegungslinien ein, notiere für jede Teilfigur eine eigene Formel und schreibe die Einheit an jedes Ergebnis. Prüfe zuletzt, ob du eine Fläche vergessen oder doppelt gezählt hast.
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Alles auf einen Blick
Flächeninhalt
bedeckter Platz einer zweidimensionalen Figur
Einheitsquadrate auszählen und Teilkästchen zusammensetzen
quadrierte Längeneinheit
passende Größen messen und Formel wählen
zerlegen oder ergänzen
Einheit, Plausibilität und doppelte Teilflächen prüfen
Wie groß ist der Boden eines L-förmigen Zimmers?
- 1Zerlegen: Rechteck 1 ist 5 m lang und 4 m breit, Rechteck 2 ist 3 m lang und 2 m breit.
- 2A_1 = 5\,\mathrm{m} \cdot 4\,\mathrm{m} = 20\,\mathrm{m^2}
- 3A_2 = 3\,\mathrm{m} \cdot 2\,\mathrm{m} = 6\,\mathrm{m^2}
- 4A = 20\,\mathrm{m^2} + 6\,\mathrm{m^2} = 26\,\mathrm{m^2}
- 5Kontrolle: Keine Teilfläche doppelt gezählt, das Ergebnis steht in m².
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Das ausgeschnittene Stück fehlt in der Figur, also wird es abgezogen: 45 m² − 6 m² = 39 m².
Lückentext
Der Flächeninhalt steht in einer wie cm². Zwei halbe Kästchen ergeben zusammen Kästchen. Nicht überlappende Teilflächen einer Figur werden .