Kreisring berechnen: Fläche, Breite und Rand
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Du berechnest seine Breite, seine Fläche und seinen Rand.
Kurz gesagt
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Seine Fläche ist die äußere minus die innere Kreisfläche: A=\pi(R^2-r^2). Bei R=7\,\mathrm{cm} und r=3\,\mathrm{cm} sind das 40\pi\,\mathrm{cm^2}\approx125{,}66\,\mathrm{cm^2}.
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Seine Fläche erhältst du, indem du die innere Kreisfläche von der äußeren abziehst: A=\pi(R^2-r^2). Dabei ist R der Außenradius und r der Innenradius.
Deine Lernziele
Stell dir eine Unterlegscheibe vor: Sie hat außen und innen einen kreisförmigen Rand. Mathematisch entsteht ein Kreisring nur dann, wenn beide Kreise konzentrisch sind, also denselben Mittelpunkt haben. Die Ringbreite b ist der Abstand zwischen innerem und äußerem Rand: b=R-r Für die Durchmesser gilt D=2R außen und d=2r innen. Deshalb ist die Ringbreite auch b=(D-d)/2.
Kreisring
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen. R bezeichnet den Außenradius, r den Innenradius. Es gilt R>r.
Teste dich
Der äußere Kreis enthält den Ring und das innere Loch. Deshalb ziehst du die Fläche des Innenkreises von der Fläche des Außenkreises ab. A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2) Manchmal sind Durchmesser oder die Ringbreite gegeben. Dann musst du nicht immer zuerst alle Radien ausrechnen: Die Tabelle zeigt die passende Formel.
Merke: Erst beide Radien quadrieren, dann die Quadrate subtrahieren. Die Fläche ist nicht \pi(R-r)^2.
Beispiel: Fläche bei R=7\,\mathrm{cm} und r=3\,\mathrm{cm}
- 1Äußere Kreisfläche: \pi\cdot(7\,\mathrm{cm})^2=49\pi\,\mathrm{cm^2}
- 2Innere Kreisfläche: \pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3Differenz: A=(49-9)\pi\,\mathrm{cm^2}=40\pi\,\mathrm{cm^2}
- 4Näherungswert: A\approx125{,}66\,\mathrm{cm^2}
- 5Probe mit D=14\,\mathrm{cm} und b=4\,\mathrm{cm}: A=\pi(14\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm})\cdot4\,\mathrm{cm}=40\pi\,\mathrm{cm^2}
| Gegeben | Formel |
|---|---|
| Radien R und r | A=\pi(R^2-r^2) |
| Durchmesser D und d | A=\frac{\pi}{4}(D^2-d^2) |
| Außendurchmesser D und Breite b | A=\pi(D-b)b |
| Innendurchmesser d und Breite b | A=\pi(d+b)b |
| Mittlerer Durchmesser d_m=\frac{D+d}{2} und Breite b | A=\pi d_m b |
Teste dich
Der Rand eines Kreisrings besteht aus zwei Kreislinien: dem äußeren und dem inneren Rand. Wenn die gesamte Randlänge gefragt ist, addierst du beide Kreisumfänge. U_{\text{Rand}}=2\pi R+2\pi r=2\pi(R+r) Prüfe vor jeder Rechnung vier Punkte: Sind Radien oder Durchmesser gegeben? Wird eine Fläche oder eine Randlänge gesucht? Hast du erst am Ende gerundet? Passt die Einheit: \mathrm{cm^2} für eine Fläche, \mathrm{cm} für eine Länge? Eine überraschende Flächengleichheit hilft beim Prüfen: Der Ring zwischen den Radien 5 und 4 hat die Fläche \pi(5^2-4^2)=9\pi. Er ist damit flächengleich zu einem Kreis mit Radius 3, denn dessen Fläche ist ebenfalls \pi\cdot3^2=9\pi.
Beispiel: Randlänge bei R=7\,\mathrm{cm} und r=3\,\mathrm{cm}
- 1U_{\text{Rand}}=2\pi\cdot7\,\mathrm{cm}+2\pi\cdot3\,\mathrm{cm}=20\pi\,\mathrm{cm}\approx62{,}83\,\mathrm{cm}
- 2Das ist eine Länge, also in \mathrm{cm} und nicht in \mathrm{cm^2}.
Merke: Bei der Fläche wird subtrahiert: außen minus innen. Bei der gesamten Randlänge wird addiert: beide Kreisumfänge zusammen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreisring
Fläche zwischen konzentrischen Kreisen
Außenradius R, Innenradius r, Breite b
äußere Kreisfläche minus innere Kreisfläche
Radien, Durchmesser oder Breite passend nutzen
inneren und äußeren Kreisumfang addieren
Einheit und Plausibilität kontrollieren
Eine CD mit 12\,\mathrm{cm} Durchmesser und 1{,}5\,\mathrm{cm} Loch
- 1Radien: R=\frac{12\,\mathrm{cm}}{2}=6\,\mathrm{cm} und r=\frac{1{,}5\,\mathrm{cm}}{2}=0{,}75\,\mathrm{cm}
- 2A=\pi(R^2-r^2)=\pi(36-0{,}5625)\,\mathrm{cm^2}
- 3A=35{,}4375\pi\,\mathrm{cm^2}\approx111{,}33\,\mathrm{cm^2}
- 4Rand: 2\pi\cdot6\,\mathrm{cm}+2\pi\cdot0{,}75\,\mathrm{cm}=13{,}5\pi\,\mathrm{cm}\approx42{,}41\,\mathrm{cm}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Hier wurde die Ringbreite quadriert. Richtig ist A=\pi(10^2-6^2)\,\mathrm{cm^2}=64\pi\,\mathrm{cm^2}\approx201{,}06\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Bei der Kreisringfläche wird die innere Kreisfläche von der Kreisfläche abgezogen. Sind Durchmesser gegeben, werden sie für die Radienformel zuerst . Das Ergebnis einer Flächenberechnung trägt eine .