Flächeninhalt eines Kreises berechnen
Die Kreisfläche berechnest du mit A = π · r². Du lernst, mit Radius oder Durchmesser zu rechnen, den Radius zurückzurechnen und Kreisringe zu bestimmen.
Kurz gesagt
Die Fläche eines Kreises berechnest du mit A = \pi r^2: Radius quadrieren, dann mit \pi multiplizieren. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst. Ein Kreis mit r = 3\,\mathrm{cm} hat A = 9\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}^2.
Wie viel Pizza bekommst du, wie viel Platz braucht ein runder Tisch? Den Flächeninhalt eines Kreises berechnest du mit A = \pi r^2. Du quadrierst also den Radius und multiplizierst das Ergebnis mit der Kreiszahl \pi.
Deine Lernziele
Der Radius r ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Der Durchmesser d verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d = 2r. Der Flächeninhalt A beschreibt, wie groß die gesamte Fläche innerhalb der Kreislinie ist. Deshalb wird er in Quadrateinheiten wie \mathrm{cm}^2 oder \mathrm{m}^2 angegeben. Es gilt A = \pi r^2 Gehe in vier Schritten vor: Notiere die Formel. Setze den Radius mit seiner Einheit ein. Quadriere den Radius einschließlich der Einheit. Multipliziere mit \pi und runde erst am Ende.
Kreiszahl π
Die Kreiszahl \pi ist eine feste mathematische Zahl. Für Überschlagsrechnungen kannst du \pi \approx 3{,}14 verwenden. Genauer wird das Ergebnis mit der \pi-Taste des Taschenrechners.
Beispiel: Kreis mit dem Radius r = 3\,\mathrm{cm}
- 1A = \pi \cdot (3\,\mathrm{cm})^2
- 2Radius quadrieren: (3\,\mathrm{cm})^2 = 9\,\mathrm{cm}^2
- 3A = 9\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}^2
Merke: Quadriere immer den Radius, nicht den Durchmesser. Eine Kreisfläche erhält eine quadratische Einheit wie \mathrm{cm}^2. Prüfe am Ende drei Dinge: Hast du wirklich den Radius eingesetzt, ihn quadriert und eine Flächeneinheit angegeben?
Teste dich
Ist der Durchmesser gegeben, darfst du ihn nicht direkt als Radius einsetzen. Halbiere ihn zuerst: r = \frac{d}{2}. Danach verwendest du wie gewohnt A = \pi r^2. Beide Schritte lassen sich auch in einer Formel zusammenfassen: A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2
Beispiel: Runder Tisch mit dem Durchmesser d = 11\,\mathrm{dm}
- 1Radius: r = \frac{11\,\mathrm{dm}}{2} = 5{,}5\,\mathrm{dm}
- 2A = \pi \cdot (5{,}5\,\mathrm{dm})^2 = 30{,}25\pi\,\mathrm{dm}^2
- 3A \approx 95{,}03\,\mathrm{dm}^2
Teste dich
Manchmal kennst du die Fläche und suchst den Radius. Stelle dann die Flächenformel A = \pi r^2 um. Teile zuerst durch \pi: r^2 = \frac{A}{\pi}. Ziehe anschließend die Quadratwurzel: r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} Für eine geometrische Länge verwendest du die positive Lösung.
Beispiel: Kreisfläche A = 20\,\mathrm{cm}^2
- 1r = \sqrt{\frac{20\,\mathrm{cm}^2}{\pi}} \approx 2{,}52\,\mathrm{cm}
- 2Probe: \pi \cdot (2{,}52\,\mathrm{cm})^2 \approx 19{,}95\,\mathrm{cm}^2
- 3Die kleine Abweichung zu 20 cm² entsteht, weil der Radius auf zwei Nachkommastellen gerundet wurde.
Teste dich
Ein Kreisring entsteht, wenn aus einer großen Kreisfläche eine kleinere Kreisfläche mit demselben Mittelpunkt entfernt wird. r_a bezeichnet den Außenradius und r_i den Innenradius. Du ziehst die kleine Fläche von der großen ab: A_{\text{Ring}} = \pi r_a^2 - \pi r_i^2. Zusammengefasst lautet die Formel: A_{\text{Ring}} = \pi (r_a^2 - r_i^2)
Beispiel: Kreisring mit r_a = 4\,\mathrm{cm} und r_i = 2\,\mathrm{cm}
- 1A_{\text{Ring}} = \pi \left((4\,\mathrm{cm})^2 - (2\,\mathrm{cm})^2\right)
- 2A_{\text{Ring}} = \pi (16 - 4)\,\mathrm{cm}^2 = 12\pi\,\mathrm{cm}^2
- 3A_{\text{Ring}} \approx 37{,}70\,\mathrm{cm}^2
Teste dich
Alles auf einen Blick
Flächeninhalt Kreis
A = \pi r^2
zuerst r = d : 2
r = \sqrt{A / \pi}
immer eine Quadrateinheit wie cm²
äußere Fläche minus innere Fläche
Einheit und Größenordnung prüfen
Wie groß ist eine Pizza mit 30 cm Durchmesser?
- 1Radius: r = 30\,\mathrm{cm} : 2 = 15\,\mathrm{cm}
- 2A = \pi \cdot (15\,\mathrm{cm})^2
- 3A = 225\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 706{,}86\,\mathrm{cm}^2
- 4Die Pizza ist ungefähr 707 cm² groß.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Eingesetzt wurde der Durchmesser. Erst halbieren: r = 6\,\mathrm{cm}. Dann ist A = \pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^2 = 36\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 113{,}10\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Für die Kreisfläche quadrierst du den . Ist der Durchmesser gegeben, du ihn zuerst. Beim Kreisring wird die innere Kreisfläche .