Normalparabel: zeichnen, erkennen und verschieben
Die Normalparabel ist der Graph von f(x)=x^2. Du lernst, sie zu zeichnen, ihre Eigenschaften zu erkennen und Verschiebungen abzulesen.
Kurz gesagt
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion f(x)=x^2. Ihr Scheitel liegt im Ursprung S(0 \mid 0), sie ist nach oben geöffnet und symmetrisch zur y-Achse. Die verschobene Normalparabel f(x)=(x-b)^2+c hat den Scheitel S(b \mid c).
Was passiert, wenn du jede Zahl mit sich selbst multiplizierst? Trägst du die Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein, entsteht eine U-förmige Kurve: die Normalparabel. Sie ist der Graph von f(x)=x^2 und das Grundmodell aller Parabeln. Hier berechnest du ihre Punkte, zeichnest sie und liest Verschiebungen direkt am Funktionsterm ab.
Deine Lernziele
Die Funktion f(x)=x^2 ordnet jeder Zahl ihr Quadrat zu. Zum Zeichnen gehst du in vier Schritten vor: Wähle mehrere x-Werte. Setze jeden Wert in f(x)=x^2 ein. Trage die Punkte (x \mid f(x)) in ein Koordinatensystem ein. Verbinde sie durch eine glatte, runde Kurve, nicht durch gerade Striche.
Normalparabel
Die Normalparabel ist der Graph der quadratischen Funktion f(x)=x^2 mit den reellen Zahlen als Definitionsbereich. Bei einer quadratischen Funktion ist 2 der höchste Exponent von x. Ihr Graph heißt Parabel.
Beispiel: Wertetabelle von f(x)=x^2
- 1f(-2)=(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4
- 2f(-1)=(-1)^2=1 und f(0)=0^2=0
- 3f(1)=1^2=1 und f(2)=2^2=4
- 4Punkte: (-2 \mid 4), (-1 \mid 1), (0 \mid 0), (1 \mid 1), (2 \mid 4)
Merke: Beim Quadrieren einer negativen Zahl setzt du die Zahl in Klammern: (-2)^2=4. Quadriert wird die ganze Zahl samt Minus.
Teste dich
Die Normalparabel hat drei auffällige Eigenschaften. Ihr Scheitelpunkt ist S(0 \mid 0), er ist ihr tiefster Punkt. Sie ist nach oben geöffnet. Und sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Symmetrie siehst du schon in der Wertetabelle: Gegenzahlen ergeben denselben Funktionswert, zum Beispiel f(-2)=f(2)=4. Deshalb liegen (-2 \mid 4) und (2 \mid 4) gleich hoch und gleich weit von der y-Achse entfernt. Die Funktion y=-x^2 ist keine Normalparabel. Ihr Graph entsteht durch Spiegelung an der x-Achse und ist nach unten geöffnet. Der Scheitel bleibt S(0 \mid 0), ist nun aber der höchste Punkt.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Bei der nach oben geöffneten Normalparabel ist er der tiefste Punkt.
| y=x^2 | y=-x^2 | |
|---|---|---|
| Scheitel | S(0 \mid 0), tiefster Punkt | S(0 \mid 0), höchster Punkt |
| Öffnung | nach oben | nach unten |
| Symmetrieachse | y-Achse | y-Achse |
Teste dich
Mit der Form f(x)=(x-b)^2+c verschiebst du die Normalparabel, ohne ihre Form oder Öffnungsrichtung zu ändern. Ihr Scheitel liegt dann bei S(b \mid c). Die Zahl b beschreibt die Verschiebung nach rechts oder links, die Zahl c die Verschiebung nach oben oder unten. Prüfe deine Antwort in zwei Schritten: Lies zuerst die waagerechte Verschiebung aus der Klammer ab, danach die senkrechte außerhalb der Klammer. So hat f(x)=(x-3)^2-2 den Scheitel S(3 \mid -2): drei Einheiten nach rechts, zwei nach unten.
Merke: Außerhalb der Klammer liest du das Vorzeichen direkt ab. Innerhalb der Klammer wirkt es entgegengesetzt: (x-3)^2 führt zu x=3, aber (x+3)^2 zu x=-3.
Beispiel: Scheitel von g(x)=(x+2)^2-1
- 1Klammer umschreiben: (x+2)^2=(x-(-2))^2, also b=-2
- 2Außerhalb der Klammer: c=-1
- 3Scheitel: S(-2 \mid -1)
- 4Verschiebung: zwei Einheiten nach links, eine nach unten
| Funktionsterm | Scheitel | Verschiebung |
|---|---|---|
| x^2+c | S(0 \mid c) | nur senkrecht |
| (x-b)^2 | S(b \mid 0) | nur waagerecht |
| (x-b)^2+c | S(b \mid c) | in beide Richtungen |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Normalparabel
x-Werte quadrieren, Punkte eintragen und rund verbinden.
S(0 \mid 0) ist der tiefste Punkt.
Die y-Achse ist Symmetrieachse, Gegenzahlen haben denselben Wert.
y=x^2 ist nach oben geöffnet.
y=-x^2 ist nach unten geöffnet und keine Normalparabel.
(x-b)^2+c hat den Scheitel S(b \mid c).
Scheitel und Verschiebung von f(x)=(x-1)^2-4
- 1In der Klammer: b=1
- 2Außerhalb der Klammer: c=-4
- 3Scheitel: S(1 \mid -4)
- 4Verschiebung: eine Einheit nach rechts, vier nach unten
- 5Probe: f(1)=(1-1)^2-4=-4
- 6Weitere Punkte: f(3)=(3-1)^2-4=0 und f(-1)=(-1-1)^2-4=0
Fehler finden
Fehler in Zeile 2In der Klammer wirkt das Vorzeichen entgegengesetzt: (x+3)^2=(x-(-3))^2, also b=-3. Der Scheitel ist S(-3 \mid 1).
Lückentext
Bei f(x)=(x-3)^2-2 liest du in der Klammer ab und außerhalb . Der Scheitel liegt deshalb von der y-Achse.