Scheitelpunkt berechnen: Formeln und Beispiele
Den Scheitelpunkt einer Parabel liest du ab oder berechnest ihn. Du lernst vier Wege und wann welcher am schnellsten zum Ziel führt.
Kurz gesagt
Den Scheitelpunkt von f(x)=ax^2+bx+c berechnest du in zwei Schritten: Zuerst x_S=-\frac{b}{2a}, dann setzt du ein und erhältst y_S=f(x_S). Steht die Funktion schon in Scheitelform f(x)=a(x-d)^2+e, liest du S(d\mid e) direkt ab. Bei a>0 ist der Scheitel ein Tiefpunkt, bei a<0 ein Hochpunkt.
Den Scheitelpunkt einer Parabel kannst du je nach Funktionsform direkt ablesen oder berechnen. In der allgemeinen Form findest du zuerst x_S=-\frac{b}{2a} und setzt diesen Wert anschließend in die Funktion ein. So erhältst du y_S=f(x_S). Du lernst, welche Methode zu welcher Funktionsform passt und wie du dein Ergebnis prüfst.
Deine Lernziele
Der Graph einer quadratischen Funktion f(x)=ax^2+bx+c mit a\neq 0 ist eine Parabel. Bei a>0 ist sie nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Bei a<0 ist sie nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt ist ein Maximum. Die senkrechte Gerade x=x_S ist die Symmetrieachse. Am einfachsten ist die Scheitelform f(x)=a(x-d)^2+e: Daraus liest du S(d\mid e) direkt ab. Der Faktor a verändert Öffnungsrichtung und Steilheit, aber nicht den Scheitelpunkt. In der Klammer steht immer x-d, deshalb kehrst du das sichtbare Vorzeichen um.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt S(x_S\mid y_S) ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Durch ihn verläuft ihre Symmetrieachse x=x_S.
Beispiel: f(x)=-2(x+3)^2+5
- 1Klammer umschreiben: x+3=x-(-3)
- 2d=-3 und e=5
- 3S(-3\mid 5)
- 4Wegen a=-2<0 ist der Scheitelpunkt ein Maximum.
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In der allgemeinen Form f(x)=ax^2+bx+c liest du a, b und c mit ihren Vorzeichen ab. Dann gehst du in zwei Schritten vor: 1. Berechne x_S=-\frac{b}{2a}. 2. Setze x_S in die ursprüngliche Funktion ein: y_S=f(x_S). Beide Schritte lassen sich auch in einer Formel zusammenfassen: S\left(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a}\right) Die Formel gilt nur für a\neq 0. Fehlt der x-Term, ist b=0. Fehlt das konstante Glied, ist c=0.
Beispiel: f(x)=2x^2+x-3
- 1a=2, b=1, c=-3
- 2x_S=-\frac{1}{2\cdot 2}=-\frac14
- 3y_S=2\cdot\left(-\frac14\right)^2-\frac14-3=\frac18-\frac14-3=-\frac{25}{8}
- 4S\left(-\frac14\mid-\frac{25}{8}\right), wegen a>0 ein Minimum
Merke: Erst x_S mit -\frac{b}{2a}, dann y_S durch Einsetzen in die Funktion. Das Minus vor dem Bruch nicht vergessen.
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Die quadratische Ergänzung macht aus der allgemeinen Form eine Scheitelform. Dabei ergänzt und subtrahierst du denselben Wert. Die Funktion bleibt deshalb unverändert. Für den Ausdruck x^2+px gilt: x^2+px=\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2 Steht vor x^2 ein anderer Faktor als 1, klammerst du ihn zuerst aus dem x^2- und dem x-Term aus. Beim Auflösen der äußeren Klammer wird auch der abgezogene Wert mit diesem Faktor multipliziert.
Beispiel: f(x)=2x^2-12x+11
- 12 ausklammern: f(x)=2(x^2-6x)+11
- 2Hälfte von -6 ist -3, (-3)^2=9: f(x)=2(x^2-6x+9-9)+11
- 3Binom bilden: f(x)=2((x-3)^2-9)+11
- 4f(x)=2(x-3)^2-18+11=2(x-3)^2-7
- 5S(3\mid-7). Probe: f(3)=18-36+11=-7
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Kennst du zwei reelle Nullstellen x_1 und x_2, liegt x_S wegen der Symmetrie genau in ihrer Mitte: x_S=\frac{x_1+x_2}{2}. Danach berechnest du y_S=f(x_S). Bei einer doppelten Nullstelle ist diese Nullstelle selbst x_S. Ohne reelle Nullstelle funktioniert dieser Weg nicht. Vertiefung mit der Ableitung: Am Scheitelpunkt gilt f'(x_S)=0. Für f(x)=x^2+2x+4 ist f'(x)=2x+2. Aus 2x+2=0 folgt x_S=-1 und durch Einsetzen y_S=3, also S(-1\mid3).
Beispiel: f(x)=0{,}5x^2-4{,}5 mit den Nullstellen -3 und 3
- 1x_S=\frac{-3+3}{2}=0
- 2y_S=f(0)=-4{,}5
- 3S(0\mid-4{,}5)
| Form der Funktion | Schnellster Weg |
|---|---|
| a(x-d)^2+e | S(d\mid e) ablesen |
| ax^2+bx+c | x_S=-\frac{b}{2a}, dann y_S=f(x_S), oder quadratische Ergänzung |
| Nullstellen x_1, x_2 bekannt | x_S als Mittelwert, dann y_S=f(x_S) |
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Alles auf einen Blick
Scheitelpunkt berechnen
Hoch- oder Tiefpunkt, durch ihn geht die Symmetrieachse
S(d\mid e) direkt ablesen, Vorzeichen in der Klammer umkehren
x_S=-\frac{b}{2a}, dann y_S=f(x_S)
denselben Wert ergänzen und wieder abziehen
x-Koordinate als Mittelwert zweier Nullstellen
Vorzeichen von a entscheidet über Maximum oder Minimum
Wie hoch steigt der Wasserstrahl?
- 1Ein Springbrunnen: h(x)=-0{,}5x^2+3x+1 (x waagerecht in m, h Höhe in m)
- 2a=-0{,}5, b=3, c=1
- 3x_S=-\frac{3}{2\cdot(-0{,}5)}=3
- 4y_S=h(3)=-0{,}5\cdot9+9+1=5{,}5
- 5S(3\mid5{,}5): Wegen a<0 ein Maximum. Der Strahl steigt 3 m vom Brunnen entfernt auf 5,5 m.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Das Minus vor dem Bruch fehlt: x_S=-\frac{-4}{2\cdot1}=2. Dann ist y_S=f(2)=4-8+7=3 und S(2\mid3).
Lückentext
Bei a<0 ist der Scheitelpunkt ein . In der allgemeinen Form berechnest du zuerst und setzt dann ein. Kennst du zwei Nullstellen, liegt x_S genau in ihrer .