Quader: Eigenschaften, Oberfläche und Volumen
Ein Quader ist ein Körper aus sechs Rechtecken. Du lernst, ihn zu erkennen und seine Oberfläche und sein Volumen zu berechnen.
Kurz gesagt
Ein Quader ist ein Körper mit 6 rechteckigen Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Mit den Kantenlängen a, b und c gilt für das Volumen V=a\cdot b\cdot c und für die Oberfläche O=2(ab+ac+bc). Ein Würfel ist ein Quader mit gleich langen Kanten.
Ein Quader ist ein räumlicher Körper mit sechs rechteckigen Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils gleich groß. Mit den drei Kantenlängen kannst du seine Oberfläche und sein Volumen berechnen.
Deine Lernziele
Stell dir ein Paket, ein Buch oder einen Koffer vor. Solche Gegenstände haben oft die Form eines Quaders. Die Kanten verlaufen in drei Richtungen. Ihre Längen heißen meist a, b und c oder Länge, Breite und Höhe. Ein Würfel ist ein besonderer Quader: Bei ihm sind alle Kanten gleich lang, seine sechs Flächen sind Quadrate. Nicht jeder Quader ist ein Würfel. Schneidest du einen Quader entlang einiger Kanten auf und klappst ihn in die Ebene, entsteht ein Quadernetz. Darin siehst du die drei Paare gleich großer Rechtecke. Ein Schrägbild zeigt dagegen den Körper räumlich: Verdeckte Kanten zeichnest du gestrichelt.
Quader
Ein Quader ist ein geometrischer Körper mit 6 rechteckigen Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß.
Merke: Quader: sechs Rechtecke als Flächen. Würfel: besonderer Quader mit gleich langen Kanten.
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Die Oberfläche besteht aus allen sechs Außenflächen. Bei einer Verpackung sagt sie dir zum Beispiel, wie viel Material für die Außenseiten nötig ist. Die sechs Flächen bilden drei Paare: zweimal ein Rechteck mit dem Flächeninhalt a\cdot b, zweimal eins mit a\cdot c und zweimal eins mit b\cdot c. Daraus folgt: O=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc) In Worten: Berechne die drei verschiedenen Rechteckflächen, addiere sie und verdopple die Summe.
Beispiel: Oberfläche für a=5\,\mathrm{cm}, b=3\,\mathrm{cm} und c=2\,\mathrm{cm}
- 1a\cdot b=5\cdot3=15\,\mathrm{cm^2}
- 2a\cdot c=5\cdot2=10\,\mathrm{cm^2}
- 3b\cdot c=3\cdot2=6\,\mathrm{cm^2}
- 4O=2\cdot15+2\cdot10+2\cdot6=62\,\mathrm{cm^2}
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Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt oder wie viel in ihn hineinpasst. Du kannst dir den Quader als Stapel gleich großer Würfel vorstellen. Auf einer Schicht liegen so viele Würfel, wie auf die Grundfläche passen. Die Höhe bestimmt, wie viele solcher Schichten übereinanderliegen. Deshalb gilt das Prinzip Grundfläche mal Höhe. Bei den drei Kantenlängen a, b und c lautet die Formel: V=a\cdot b\cdot c
Beispiel: Volumen für a=5\,\mathrm{cm}, b=3\,\mathrm{cm} und c=2\,\mathrm{cm}
- 1V=5\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm^3}
- 2Die Einheit ist kubisch, weil drei Längen multipliziert wurden.
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In einer Sachaufgabe darfst du nicht automatisch jede genannte Länge einsetzen. Prüfe zuerst, welche Maße den tatsächlich gefüllten oder gebauten Quader beschreiben. Gehe in vier Schritten vor: 1. Bestimme die gesuchte Größe, also Oberfläche oder Volumen. 2. Ermittle die nötigen Kantenlängen. 3. Bring alle Längen in dieselbe Einheit. 4. Rechne, notiere die Einheit und prüfe das Ergebnis im Zusammenhang.
Beispiel: Ein Aquarium ist 1{,}20\,\mathrm{m} lang, 0{,}60\,\mathrm{m} breit und 0{,}70\,\mathrm{m} hoch. Das Wasser reicht bis 20\,\mathrm{cm} unter den Rand.
- 1Umrechnen: 20\,\mathrm{cm}=0{,}20\,\mathrm{m}
- 2Wasserhöhe: 0{,}70\,\mathrm{m}-0{,}20\,\mathrm{m}=0{,}50\,\mathrm{m}
- 3V=1{,}20\,\mathrm{m}\cdot0{,}60\,\mathrm{m}\cdot0{,}50\,\mathrm{m}=0{,}36\,\mathrm{m^3}
- 40{,}36\,\mathrm{m^3}=360\,\mathrm{dm^3}=360\,\mathrm{l}
- 5Es werden 360\,\mathrm{l} Wasser gebraucht, nicht das Volumen des ganzen Beckens.
Merke: Oberfläche bedeutet Außenflächen und hat eine Quadrateinheit wie \mathrm{cm^2}. Volumen bedeutet Rauminhalt und hat eine Kubikeinheit wie \mathrm{cm^3}. Es gilt 1\,\mathrm{dm^3}=1\,\mathrm{l}.
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Alles auf einen Blick
Quader
6 Flächen, 12 Kanten, 8 Ecken
Würfel mit gleich langen Kanten
drei Rechteckpaare, O=2ab+2ac+2bc
Grundfläche mal Höhe, V=abc
Netz zeigt Flächen, Schrägbild zeigt den Raumkörper
Maße prüfen, Einheiten angleichen, Ergebnis deuten
Die Schachtel eines Brettspiels ist 40\,\mathrm{cm} lang, 25\,\mathrm{cm} breit und 8\,\mathrm{cm} hoch.
- 1V=40\cdot25\cdot8=8000\,\mathrm{cm^3}
- 28000\,\mathrm{cm^3}=8\,\mathrm{dm^3}=8\,\mathrm{l}
- 3Flächen: 40\cdot25=1000, 40\cdot8=320, 25\cdot8=200 (in \mathrm{cm^2})
- 4O=2\cdot(1000+320+200)=3040\,\mathrm{cm^2}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Der Faktor 2 ist verloren gegangen, dabei kommt jede Rechteckfläche zweimal vor. Richtig: O=2\cdot(20+10+8)=76\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Ein Quader hat Flächen. Für das Volumen du die drei Kantenlängen. Die Oberfläche gibst du in einer an.