Rechteck: Eigenschaften, Umfang und Fläche
Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Du lernst seine Eigenschaften, berechnest Umfang und Flächeninhalt und findest fehlende Seiten.
Kurz gesagt
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Für die Seiten a und b gilt: Umfang U=2a+2b, Flächeninhalt A=a\cdot b. Bei a=9\,\mathrm{cm} und b=6\,\mathrm{cm} sind das 30\,\mathrm{cm} und 54\,\mathrm{cm^2}.
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. Für die Seitenlängen a und b gilt: U=2a+2b für den Umfang und A=a\cdot b für den Flächeninhalt.
Deine Lernziele
Die Diagonalen verbinden gegenüberliegende Ecken. In einem Rechteck sind sie gleich lang und halbieren sich gegenseitig an ihrem Schnittpunkt. Jedes Rechteck besitzt mindestens zwei Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Außerdem ist es punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Bei einem Quadrat sind auch die beiden Diagonalen Symmetrieachsen; es hat daher vier Symmetrieachsen.
Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln von jeweils 90^\circ. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
Merke: Vier rechte Winkel sind das entscheidende Erkennungsmerkmal. Gleich lange gegenüberliegende Seiten allein reichen nicht aus.
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Der Umfang ist die Länge des gesamten Randes. Jede Seitenlänge kommt zweimal vor: U=2a+2b=2(a+b) Der Umfang hat eine Längeneinheit, zum Beispiel \mathrm{cm}. Der Flächeninhalt ist der bedeckte Bereich. Du kannst ihn als Zeilen mal Spalten von Einheitsquadraten verstehen: A=a\cdot b Die Einheit wird mitmultipliziert: \mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^2}.
Beispiel: Für a=9\,\mathrm{cm} und b=6\,\mathrm{cm} gilt:
- 1U=2\cdot9\,\mathrm{cm}+2\cdot6\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}
- 2Das Ergebnis beschreibt die gesamte Randlänge.
Beispiel: Für dieselben Seitenlängen gilt:
- 1A=9\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=54\,\mathrm{cm^2}
- 2Das Rechteck bedeckt 54 Quadratzentimeter.
Merke: Beim Umfang addierst du Seitenlängen. Beim Flächeninhalt multiplizierst du zwei aneinanderliegende Seitenlängen.
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Ist der Umfang gegeben, teile U=2a+2b zuerst durch 2 und ziehe dann die bekannte Seite ab: b=\frac{U}{2}-a Ist der Flächeninhalt gegeben, teilst du durch die bekannte Seitenlänge: b=\frac{A}{a}
Beispiel: Gegeben sind U=46\,\mathrm{cm} und a=8\,\mathrm{cm}.
- 146\,\mathrm{cm}=2\cdot8\,\mathrm{cm}+2b
- 2Nach dem Abziehen von 16\,\mathrm{cm} bleiben 30\,\mathrm{cm}=2b. Durch Teilen durch 2 folgt b=15\,\mathrm{cm}.
- 3Die Probe 2\cdot8\,\mathrm{cm}+2\cdot15\,\mathrm{cm}=46\,\mathrm{cm} bestätigt das Ergebnis.
Beispiel: Gegeben sind A=56\,\mathrm{cm^2} und a=7\,\mathrm{cm}.
- 1b=\frac{56\,\mathrm{cm^2}}{7\,\mathrm{cm}}=8\,\mathrm{cm}
- 2Eine Längeneinheit bleibt übrig, weil \mathrm{cm^2}:\mathrm{cm}=\mathrm{cm}.
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Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck: Es hat vier rechte Winkel und zusätzlich vier gleich lange Seiten. Daher ist jedes Quadrat ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat. Setzt du a=b, werden die Rechteckformeln zu: U=4a A=a^2 Eine zusammengesetzte Figur kannst du in Rechtecke zerlegen. Berechne jede Teilfläche mit A=a\cdot b und addiere anschließend. Für drei Teilrechtecke gilt: A_{\mathrm{gesamt}}=A_1+A_2+A_3 Bevor du rechnest, müssen alle Seitenlängen dieselbe Einheit haben. Beispiel: Ein Rechteck hat a=70\,\mathrm{mm} und b=12\,\mathrm{cm}. Mit 70\,\mathrm{mm}=7\,\mathrm{cm} erhältst du U=38\,\mathrm{cm} und A=84\,\mathrm{cm^2}.
Beispiel: Ein Quadrat mit a=17\,\mathrm{cm} hat den Flächeninhalt
- 1A=(17\,\mathrm{cm})^2=289\,\mathrm{cm^2}
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Alles auf einen Blick
Rechteck
vier rechte Winkel; gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang; Diagonalen gleich lang und gegenseitig halbiert
Umfang: U=2a+2b; Fläche: A=a\cdot b; fehlende Seite durch Umstellen
Quadrat als Spezialfall; Teilflächen addieren
gleiche Längeneinheiten; passende Ergebniseinheit
Ein Beet ist 8 m lang und 3,5 m breit. Wie lang ist der Zaun, wie groß die Fläche?
- 1Gegeben: a=8\,\mathrm{m} und b=3{,}5\,\mathrm{m}
- 2Umfang: U=2\cdot8\,\mathrm{m}+2\cdot3{,}5\,\mathrm{m}=16\,\mathrm{m}+7\,\mathrm{m}=23\,\mathrm{m}
- 3Flächeninhalt: A=8\,\mathrm{m}\cdot3{,}5\,\mathrm{m}=28\,\mathrm{m^2}
- 4Der Zaun ist 23 m lang, das Beet ist 28 m² groß.
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Fehler in Zeile 3Die Faktoren 2 fehlen: Jede Seite kommt zweimal vor. Richtig ist U=14\,\mathrm{cm}+8\,\mathrm{cm}=22\,\mathrm{cm}.
Lückentext
Ein Rechteck hat vier Winkel. Den Umfang berechnest du mit . Ein Flächeninhalt hat die Einheit .