Satz vom Nullprodukt einfach erklärt
Mit dem Satz vom Nullprodukt löst du faktorisierte Gleichungen. Du lernst, wann er gilt, wie du ausklammerst und wie du mehrfache Nullstellen erkennst.
Kurz gesagt
Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Aus x(x-2)=0 folgt also x=0 oder x-2=0, die Lösungen sind 0 und 2. Die Regel gilt nur, wenn auf einer Seite ein Produkt und auf der anderen Seite null steht.
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Deshalb darfst du bei einer Gleichung wie A(x) \cdot B(x)=0 jeden Faktor einzeln gleich null setzen. Auf dieser Seite lernst du, wann die Regel gilt, wie du eine Summe zuerst faktorisierst und wie du damit Nullstellen bestimmst.
Deine Lernziele
Das Wort oder im Satz schließt ein, dass auch mehrere Faktoren gleichzeitig null sein können. Warum funktioniert die Regel? Sind alle Faktoren ungleich null, ist auch ihr Produkt ungleich null. Ein Produkt kann daher nur null werden, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Satz vom Nullprodukt
Für reelle Zahlen gilt: a \cdot b=0 genau dann, wenn a=0 oder b=0 ist. Bei mehreren Faktoren muss mindestens einer der Faktoren null sein.
Beispiel: x(x-2)=0 lösen
- 1Die Faktoren sind x und (x-2).
- 2x=0 oder x-2=0
- 3x=0 oder x=2
- 4L=\{0;2\}
Merke: Die Nullproduktregel gilt für ein Produkt gleich null. Bei einer Summe gleich null darfst du die Summanden nicht einzeln null setzen.
Teste dich
Liegt noch kein Produkt gleich null vor, bereitest du die Gleichung vor: 1. Bringe alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite null steht. 2. Faktorisiere den Term, zum Beispiel durch Ausklammern. 3. Setze jeden Faktor einzeln gleich null. 4. Löse die entstehenden Teilgleichungen. 5. Sammle alle Lösungen in der Lösungsmenge. Faktorisieren bedeutet, eine Summe oder Differenz als Produkt zu schreiben. Beim Ausklammern suchst du einen Faktor, der in jedem Summanden vorkommt: In x^2-2x steckt in beiden Summanden x, also x^2-2x=x(x-2).
Beispiel: x^2=1 lösen
- 1Auf null bringen: x^2-1=0
- 2Faktorisieren: (x-1)(x+1)=0
- 3x-1=0 oder x+1=0
- 4x=1 oder x=-1, also L=\{-1;1\}
- 5Probe: 1^2=1 und (-1)^2=1
Teste dich
Bei einer Funktion findest du Nullstellen, indem du f(x)=0 setzt. Ist die Funktion bereits faktorisiert, kannst du die Faktoren direkt untersuchen. Die Nullproduktregel zerlegt eine Gleichung nur in Teilgleichungen. Ist ein Faktor selbst quadratisch oder von höherem Grad, brauchst du für ihn möglicherweise ein weiteres Lösungsverfahren.
Mehrfache Nullstelle
Kommt derselbe Faktor mehrfach vor, besitzt die zugehörige Nullstelle eine entsprechende Multiplizität. Der Faktor (x+1)^2 bedeutet zum Beispiel, dass die Nullstelle x=-1 zweimal vorkommt.
Beispiel: Nullstellen von f(x)=(x+1)^2(x-4)
- 1(x+1)^2(x-4)=0
- 2(x+1)^2=0, also x=-1
- 3x-4=0, also x=4
- 4-1 ist eine doppelte Nullstelle, 4 eine einfache.
Teste dich
Eine Summe ist kein Nullprodukt: Aus x+(x-2)=0 darfst du nicht folgern, dass x=0 oder x-2=0 gilt. Die linke Seite ist eine Summe. Du fasst sie zusammen und löst normal: 2x-2=0, also x=1. Beim Ausklammern keinen Summanden verlieren: Prüfe deine Faktorisierung durch Ausmultiplizieren. Aus x(x-2) wird wieder x^2-2x. Nicht voreilig durch eine Variable teilen: Bei x(x-2)=0 würde eine Division durch x die Lösung x=0 ausschließen. Jeden Faktor bearbeiten: Bei (x+1)x(x-1)=0 musst du alle drei Faktoren null setzen. Die Lösungen sind -1, 0 und 1.
Merke: Teile nie durch einen Term mit x, bevor du weißt, dass er nicht null ist. Ausklammern statt teilen bewahrt alle Lösungen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Satz vom Nullprodukt
ein Produkt steht gleich null
mindestens ein Faktor ist null
auf null bringen und faktorisieren
jeden Faktor einzeln null setzen
ausmultiplizieren und alle Lösungen einsetzen
Potenzen zeigen mehrfache Nullstellen
Löse 2x^2=10x
- 1Auf null bringen: 2x^2-10x=0
- 22x ausklammern: 2x(x-5)=0
- 32x=0 oder x-5=0
- 4x=0 oder x=5, also L=\{0;5\}
- 5Probe mit 5: 2\cdot5^2=50 und 10\cdot5=50
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Durch x darfst du nur teilen, wenn x\ne0 ist. Richtig: x^2-6x=0, also x(x-6)=0 und L=\{0;6\}.
Lückentext
Bei x^2-5x=0 klammerst du zuerst aus und erhältst . Danach setzt du die einzeln gleich null.