Zauberquadrate erkennen, lösen und erforschen
Im Zauberquadrat haben alle Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe Summe. Du lernst, es zu prüfen, Lücken zu füllen und neue zu bauen.
Kurz gesagt
Ein Zauberquadrat ist ein Zahlenquadrat, in dem jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen dieselbe Summe haben: die Zauberzahl. Im 3×3-Quadrat mit den Zahlen 1 bis 9 ist sie 15. Eine fehlende Zahl ist die Zauberzahl minus die Summe der bekannten Zahlen ihrer Reihe.
In einem Zauberquadrat haben alle Zeilen, alle Spalten und die beiden Diagonalen dieselbe Summe. Diese Summe heißt Zauberzahl. Fehlt eine Zahl, ziehst du die bekannten Zahlen von der Zauberzahl ab.
Deine Lernziele
Ein 3×3-Quadrat hat drei Zeilen und drei Spalten. Dazu kommen zwei Diagonalen. Sie gehen von Ecke zu Ecke. Prüfe das Quadrat in der Tabelle. Die obere Zeile ergibt 6 + 7 + 2 = 15. Die mittlere Spalte ergibt 7 + 5 + 3 = 15. Die Diagonale von links oben ergibt 6 + 5 + 4 = 15. Die andere Diagonale ergibt 2 + 5 + 8 = 15. Auch alle anderen Reihen ergeben 15. Das Zahlenfeld ist also ein Zauberquadrat mit der Zauberzahl 15.
Zauberquadrat
Ein Zauberquadrat ist ein quadratisches Zahlenfeld. Jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen ergeben dieselbe Summe. Diese Summe heißt Zauberzahl.
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 |
|---|---|---|
| 6 | 7 | 2 |
| 1 | 5 | 9 |
| 8 | 3 | 4 |
Merke: Prüfe nicht nur die Zeilen. Auch alle Spalten und beide Diagonalen müssen dieselbe Summe haben.
Teste dich
Im bekanntesten Zauberquadrat steht jede Zahl von 1 bis 9 genau einmal. Dieses Quadrat hat drei feste Muster. Die Zauberzahl ist 15. In der Mitte steht die 5. Zwei Zahlen, die mit der 5 in einer Reihe liegen, ergeben zusammen 10. Sie liegen sich gegenüber. Im Beispiel liegen 6 und 4 einander gegenüber: 6 + 4 = 10. Mit der Mitte gilt 6 + 5 + 4 = 15. Du kannst das Quadrat drehen oder spiegeln. Dann stehen die Zahlen an anderen Plätzen. Die Zauberzahl bleibt aber 15.
Beispiel: Warum ist die Zauberzahl 15?
- 1Alle Zahlen von 1 bis 9 zusammen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
- 2Diese 45 verteilen sich auf die drei Zeilen.
- 3Jede Zeile bekommt gleich viel: 45 : 3 = 15
Merke: Im Zauberquadrat mit den Zahlen 1 bis 9 ist die Zauberzahl 15. In der Mitte steht die 5. Gegenüberliegende Zahlen ergeben zusammen 10.
Teste dich
Suche zuerst eine Reihe, in der nur ein Feld fehlt. Dann gehst du in drei Schritten vor. Schreibe die Zauberzahl auf. Addiere die bekannten Zahlen der Reihe. Ziehe diese Summe von der Zauberzahl ab. Als Wortformel: fehlende Zahl = Zauberzahl − Summe der bekannten Zahlen. Fehlen mehrere Felder, rechne Reihe für Reihe. Jede neue Zahl hilft dir in der nächsten Reihe.
Beispiel: Eine Lücke in der Zeile 6, 7, ?
- 1Zauberzahl: 15
- 2Bekannte Zahlen addieren: 6 + 7 = 13
- 3Zur Zauberzahl ergänzen: 15 − 13 = 2
- 4Kontrolle: 6 + 7 + 2 = 15
Teste dich
Aus einem Zauberquadrat kannst du neue Zauberquadrate machen. Alle Zahlen gleich verändern: Addiere zu jeder Zahl dieselbe Zahl. Dann bleiben alle Reihen gleich groß. Jede Reihe hat drei Zahlen. Addierst du überall 2, wächst jede Reihe um 3 · 2 = 6. Aus der Zauberzahl 15 wird 21 (Tabelle). Nimmst du jede Zahl mal 2, wird jede Reihe doppelt so groß. Aus 15 wird 30. Das Quadrat bewegen: Auch Drehen und Spiegeln erhält den Zauber. Die Zahlen wechseln nur ihre Plätze. Selbst forschen: Sage zuerst ein Ergebnis voraus. Prüfe es dann an allen Reihen.
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 |
|---|---|---|
| 8 | 9 | 4 |
| 3 | 7 | 11 |
| 10 | 5 | 6 |
Merke: Verändere alle Zahlen auf dieselbe Weise, dann entsteht wieder ein Zauberquadrat. Änderst du nur ein Feld, stimmen die Summen meist nicht mehr.
Beispiel: Vorhersage: überall 3 addieren
- 1Jede Reihe hat drei Zahlen, und jede wird um 3 größer.
- 2Jede Reihe wächst also um 3 · 3 = 9.
- 3Neue Zauberzahl: 15 + 9 = 24
- 4Probe an der oberen Zeile 6, 7, 2: 9 + 10 + 5 = 24
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zauberquadrate
Zeilen, Spalten und Diagonalen haben dieselbe Summe
Mitte 5, Zauberzahl 15
Zauberzahl minus Summe der bekannten Zahlen
Jede der acht Reihen kontrollieren
Alle Zahlen auf dieselbe Weise ändern
Der Zauber bleibt erhalten
Drei Lücken füllen (Zauberzahl 15)
- 1Gegeben: oben 8, ?, 6; Mitte ?, 5, 7; unten 4, ?, 2
- 2Obere Zeile: 8 + 6 = 14, also fehlt 15 − 14 = 1
- 3Mittlere Zeile: 5 + 7 = 12, also fehlt 15 − 12 = 3
- 4Untere Zeile: 4 + 2 = 6, also fehlt 15 − 6 = 9
- 5Probe Diagonalen: 8 + 5 + 2 = 15 und 6 + 5 + 4 = 15
- 6Probe mittlere Spalte: 1 + 5 + 9 = 15
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Jede Reihe hat drei Zahlen, und jede wird um 10 größer. Die Reihe wächst also um 3 · 10 = 30. Die neue Zauberzahl ist 15 + 30 = 45.
Lückentext
In einem Zauberquadrat haben alle Zeilen, Spalten und dieselbe Summe. Im normalen 3×3-Quadrat steht in der Mitte die . Eine fehlende Zahl ist die Zauberzahl die Summe der bekannten Einträge.