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ABSCHLUSSPRÜFUNG Realschule Mathe – Geometrie 10. Klasse
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 98 Zeilen
- Hallo ihr Lieben, heute habe ich euch eine Aufgabe aus einer Abschlussprüfung der Realschule mitgebracht. Diese Aufgabe kam 2022 in Bayern vor und
- lautet folgendermaßen: Die Vorlage eines Kerzenhalters für kugelförmige Kerzen ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse
- MN. [schnauben] Es geht schon ordentlich los. Okay, gucken wir mal ganz kurz an der Skizze, worum es hier überhaupt geht. Das rote, was hier gezeichnet ist,
- ist dieser Kerzenhalter, der da entstehen soll für kugelförmige Kerzen. Also hier soll diese kuförmige Kerze dann letztendlich reingelegt werden.
- Also das rote ist dieser Halter. Alles andere, was so gestrichelt gezeichnet ist, sind einfach nur Hilfslinien. ähm die Rotationsachse MN, also hier von
- m nach n müsst ihr euch vorstellen, hier ist auch so ein Pfeil eingezeichnet, dass das alles, was hier so gezeichnet ist, dass das rotiert um diese Achse,
- also sich die ganze Zeit so dreht sozusagen und der Körper, der dann entsteht, um den geht es. Das ist dieser Kerzenhalter. Die Skizze zeigt den
- Axialschnitt dieses Rotationskörpers. Genau. Einmal hier schön an die Rotationsachse, so wie wir das gerade beschrieben haben. [schnauben] Der Punkt
- C ist der Schnittpunkt der Geraden AB und ED. Also, wenn wir hier Geraden durch AB zeichnen und das hier so verlängern und auch durch E D und hier
- verlängern, dann schneiden sich die beiden Geraden hier unten im Punkt C, so wie das Ganze eben auch aussieht. Dann bekommen wir ein paar Längenangaben, die
- wir uns jetzt nicht im Detail anschauen. Vielleicht nur hier das AE parallel zu BD läuft. Also dieses Stückchen hier verläuft parallel zu dem hier, so wie
- man sich das auch wünscht und wie man sich das vorstellt. Das soll auf jeden Fall der Fall sein. Teil A: Berechne das Volumen des Rotationskörpers Runde auf
- zwei Stellen nach dem Komma. Okay, also Rundungsfehler müssen wir aufpassen, würde es dann Punktabzug geben. Ähm, wir sollen das Volumen von diesem
- Kerzenhalter bestimmt. Vielleicht kümmern wir uns erstmal um Teil A und schauen uns danach Teil B an. Also gehen wir erstmal auf eine neue Seite. Wie
- können wir jetzt das Volumen von diesem Rotationskörper bestimmen? Das ist ja das Volumen von diesem roten Teil. äh wenn sich das eben um diese Achse hier
- immer wieder dreht, vielleicht geben wir dem erstmal einen Namen, dass wir sagen, das ist Volumen von diesem Rotationskörper. Also letztendlich ist
- VR gesucht. Wir haben jetzt aber keine Formel, die wir da einfach drauf klatschen können, weil VR sieht halt schon wild aus, ne? Das ist keine
- klassische äh Figur, das ist kein Kegel, kein Zylinder, keine Kugel, sondern setzt sich halt aus anderen Figuren zusammen, die aber Gott sei Dank ja
- schon eingezeichnet sind, ne? Wir erkennen hier drumrum schon Figuren, die uns bekannt vorkommen. Z.B. Wenn wir uns diesen großen, also dieses Dreieck hier
- mal einzeichnen, das ja alles umfasst, aber viel zu groß wäre, aber damit kann man ja mal starten, wenn wir das Volumen davon bestimmen. Jetzt natürlich nicht
- von dem Dreieck an sich, sondern auch das rotiert ja um diese Achse. Was entsteht dann, wenn ein Dreieck, wenn ihr das rotieren lasst, was ist das für
- ein Körper, der da entsteht? könnt euch vorstellen, dass das hier so ein Kreis wird an dieser Grundfläche hier unten und hier zur Spitze hin läuft es eben so
- zu und dass das ein Kegel ist. Also, wenn ihr ein Dreieck so rotieren lasst, entsteht einfach ein Kegel und ähm davon können wir das Volumen natürlich
- ausrechnen. V1 müssen wir dann auch machen, aber das ist ja zu groß. Für das, was wir eigentlich wollen von dem roten Körper müssen wir noch was
- abziehen und zwar, na ja, das Stück hier, diese Spitze ist auf jeden Fall zu viel. Auch das ist ja wieder ein Dreieck, wird also wieder ein Kegel
- werden. Das nennen wir mal V2, das Volumen dieses Kegels dann. Und dann müssen wir aber auch noch was abziehen, nämlich dieses Teil hier in der Mitte.
- Das mache ich mal blau. Was ist das denn? Was wird es, wenn wir das als Volumen 3 mal uns anschauen und hier schon mal abziehen? Wenn man so ein
- Halbkreis rotieren lässt, was entsteht da, könnt ihr das sehen, dass auch das hier dann so kreisförmig wird und dass das einfach ähm diese so eine Halbkugel
- wird, weil da kommt ja dann auch diese Kerze rein, diese kugelförmige Kerze und es ist einfach so eine Halbkugel. Also auch da werden wir uns um das Volumen
- kümmern. Okay, wir haben also einen Plan, was wir tun wollen. Jetzt würde ich sagen, wir berechnen V1, V2 und V3 jeweils einzeln auf einzelnen Seiten,
- denn ihr seht, es wird schon umfangreich, also wir haben ein bisschen was zu tun. Ich hoffe, es wird nicht zu chaotisch. Aber gehen wir erstmal rein
- und suchen das Volumen von V1. Okay, V1 haben wir schon gesagt, wird ein Kegel werden. Das heißt, wir bräuchen erstmal die Formel für das
- Volumen eines Kegels. So ein Kegel hat ja den Radius R und die Höhe, die vom Mittelpunkt bis zur Spitze läuft, nennen wir h. Dann kann man das Volumen
- folgendermaßen ausrechnen. Die Formel sagt ein Drittel mal die Grundfläche, das ist hier ein Kreis, also die Kreisfläche sind Pi mal r². Und das
- Ganze wird einfach nur mit der Höhe noch multipliziert. Das ist unsere Formel, die wir hier jetzt in unserem Fall mal anwenden. Das heißt, ein Drittel können
- wir übernehmen. Pi können wir übernehmen. Wie sieht's mit R aus? R in unserem Fall, der Radius von unserem grünen Kegel wird dieses Stückchen hier
- sein, also von m nach E. Und das tragen wir auch erstmal so ein. Also die Strecke me ist unser Radius. Der muss noch quadriert werden laut der Formel.
- Und das Ganze mit der Höhe multipliziert werden. Die läuft von der Mitte bis zur Spitze. Also die Strecke von C nach M erstmal eintragen. Dann kriegt man auch
- schon mal Punkte drauf. Hat sich noch gar nicht verrechnet irgendwie. steht schon mal alles da. Das ist dann schon mal ganz gut. [schnauben] Dann können
- wir schauen, ob wir Längenangaben gegeben haben. Wie sieht's denn mit me aus? Diesem Stück hier ist es irgendwo gegeben? Nein, sieht nicht gut aus. Es
- ist die ae Strecke gegeben hier. Okay, mit 9 cm. Wir wollen aber nur dieses Stück haben. Die Rotationsachse liegt natürlich im Zentrum des
- Rotationskörpers. Das heißt, dieses Stück ist einfach die Hälfte von der ganzen Strecke. Also die Hälfte von 9 sind dann die 4,5 cm, die
- wir hier eintragen können und für me schon mal ein in die Formel eintragen können. Ich nehme die Einheiten, die Zentimeter jetzt mal mit in die
- Gleichung auch rein. Müsst ihr schauen, ob ihr das machen müsst oder nicht. Dementsprechend macht's oder lasst es weg, wie ihr es eben zu tun habt. Wir
- müssen dann aber eine Klammer noch drumrum machen, das ganze quadrieren, denn das war jetzt wirklich nur diese 4,5 äh Strecke. Und hinten dran, wie
- sieht's mit unserem CM aus? CM ist dieses Stück hier, das ist auch nicht gegeben. CN ist gegeben mit 5,5. Das ist das kurze Stückchen hier.
- Ähm, MN ist leider nicht gegeben. BD sehen wir hier noch, also das Stück von da nach da. Wenn wir da nur die Hälfte nehmen von den 5 cm, ist das kurze Stück
- hier 2,5 lang. Äh ja, aber das Stück finden wir nicht. Das müssen wir auf jeden Fall berechnen. Fällt euch was auf dieser rechten Seite, wenn man die mal
- hier so betrachtet, was es für eine Figur ist. Wir haben hier das Stück verläuft parallel zu dem. Dann haben wir zwei Geraden, die sich in einem Punkt
- hier schneiden, in dem sogenannten Zentrum. Fällt euch jetzt auf, dass das eine Strahlensatzfigur ist und mit der können wir eben also mit dem
- Strahlensatz dann hier diese gesuchte Strecke cm, die wir für unsere Formel brauchen, berechnen. Aber gehen wir dazu mal auf eine neue Seite äh und
- vielleicht zeichnen wir auch erstmal das ein bisschen sauberer, dass wir hier eine schöne Strahlensatzfigur erkennen können. Hier unten ist unser C, hier ist
- unser M. Die Seite hier sind 4,5 lang und 2,5 lang und 5,5. Das sind die Sachen, die wir gegeben haben. Wir wollen das da ausrechnen, haben aber die
- kurze blaue Strecke gegeben und die, die hier so parallel laufen, die lange markiere ich mal grün, die kurze eben auch grün, das sind die beiden
- Parallelen. Und diese vier Streckenabschnitte können wir im Strahlensatz verwenden. sagt nämlich, dass die lange blaue Strecke sich
- genauso zu der grünen langen Parallelen verhält, wie die kurze blaue Strecke zu dem kurzen parallelen Stückchen. Also, wenn wir es mal aufschreiben, cm, diese
- Strecke verhält sich zu dem langen Parallelenstück, also den 4,5 cm, genauso wie das kurze blaue Stück, die 5,5 cm zu dem kurzen parallelengrünen
- Teil, also den 2,5 cm. Das ist einfach nur eine Gleichung, die wir nach unserem gewünschten cm umstellen können, indem wir mal 4,5
- cm rechnen. Hier Zentimeter und Zentimeter können wir auch schon mal wegstreichen. Dann finden wir unser gewünschtes CM, indem wir die 5,5
- durch die 2,5 teilen und das Ganze mit den 4,5 cm multiplizieren. Die Zahlen könnt ihr einfach ein Taschenrechner eingeben, ausrechnen, dann kommt man auf
- eine Strecke von 9,9 cm für unser CM, was wir gebraucht haben für diese Formel hier, dann können wir das hier eintragen und haben unser
- erstes Volumen gefunden. Das hier können wir jetzt auch ein bisschen schöner machen. Ich würde es nicht in Taschenrechner eintippen und ausrechnen
- an die Rundungsfehler denken, die passieren können. Deswegen ähm bleiben wir mal exakt. Vielleicht lösen wir noch ein bisschen die Klammer hier mal auf.
- 4,5 zum Quadrat, auch die Zentimeter zum Quadrat. Ma hier kein Mal dazwischen. Und hier hinten noch die 9,9 cm hinten dran. Wenn wir jetzt noch ein bisschen
- sortieren, dass wir hier eine Einheit haben und hier eine Einheit haben, alles andere, was man in Taschenrechner eintippen kann, packen wir mal nach
- vorne. Und welche Einheit haben wir dann insgesamt? quadratzim malent werden dann zu Kubikzentimetern,
- so wie es sich für ein Volumen eben auch gehört. Und dann würden wir das mal so stehen lassen, nicht in den Taschenrechner eintippen. Wir wissen, es
- ist bereit für den Taschenrechner, ähm aber wir wollen das Ganze ja exakt lassen, also keine Rundungsfehler einbauen, deswegen einfach so stehen
- lassen. Wir wissen aber V1 können wir abhaken, haben wir, können wir jederzeit drauf zugreifen. Dann kümmern wir uns um V2, aber das wird jetzt um einiges
- schneller gehen, denn das ist schon wieder ein Kegel und da sind wir jetzt schon geschult Volumen eines Kegels. 1 mal pi r² mal die Höhe. Das wenden wir
- hier für unser zweites Volumen an. Das heißt 1/3 mal pi. Was ist der Radius? Das sind hier Gott sei Dank gegeben das ganze mit 2,5 cm. schöne Klammer drumrum
- und das ganze quadrieren und die Höhe ist hier auch gegeben mit 5,5 cm. Da brauchen wir keinen erneuten Strahlensatz anzuwenden.
- Das heißt, wenn wir das noch ein bisschen verschönern, haben wir hier was die Klammer können wir auflösen. 2,5 zum Quadrat. Die Zentimeter müssen auch
- quadriert werden. Können wir aber dann direkt mit den Zentimetern hier hinten verrechnen. cm hoch 2 mal cm sind cm hoch 3 und die 5,5 dürfen wir nicht
- vergessen, die Zahl schreiben wir noch zu den Zahlen dazu. Das ist unser zweites Volumen. Auch das rechnen wir nicht aus. Merken wir uns einfach, dass
- wir es haben. Und dann kommen wir zum dritten Volumen, was jetzt ein bisschen anders ist, denn hier geht es ja um diese Halbkugel, die hier entsteht. Also
- dieses dritte Volumen müssen wir jetzt mal schauen, wie dafür die Formel ist. [schnauben] Wenn wir uns erstmal eine Kugel
- betrachten, da gibt es nämlich für das Volumen einer Kugel gibt es eine Formel, die sagt 4 mal Pi* r hoch 3. Also, man braucht nur
- den Radius der Kugel und schon kann man das Volumen ausrechnen. Müssen wir jetzt aufpassen, das hier ist keine Kugel, das ist eine Halbkugel, die wir hier haben.
- Also brauchen wir auch nur die Hälfte. Also, wir brauchen keine Kugel, sondern eine Halbkugel und dann können wir einfach ein halb vorne dran setzen, da
- wir wirklich nur die Hälfte von dem Volumen einer ganzen Kugel haben wollen. Okay, dann rein da mit allem. 1/2 mal 4 mal pi. Okay, Radius ist das einzige,
- was wir brauchen. Wie sieht's denn aus mit dem Radius hier? Der ist ja eingezeichnet. Das wäre dieses Stückchen hier ist MF gegeben. Nee, GF ist
- gegeben. Also von G nach F sind 5 cm. Und hier ist aber auch noch gegeben, dass der Radius genauso lang ist wie mg und MF. Also die Hälfte von den fünf,
- also 2,5 cm können wir hier reinpacken und das ganze laut der Formel dann hoch 3 nicht vergessen. Und dann können wir das noch
- ein bisschen schöner machen. Ich würde mir gar nicht zu viele Gedanken machen, dass man da jetzt noch irgendwelche Brüche kürzt oder so, sondern einfach
- abschreiben. Wir tippen sowieso ein Taschenrechner ein, aber hier hinten die 2,5 hoch 3 und Kubikzentimeter dann draus machen, dass wir unser
- drittes Volumen haben. Leute, wir haben V1, V2, V3 exakt gegeben. Wir können das hier in unsere Formel eintragen, in Taschenrechner eintippen, auf zwei
- Nachkommeren runden und kommen auf ein Volumen von 141,21 Kubikzm. Wir haben Teil A geschafft. [gelächter]
- Mal gucken, was Teil B noch für uns bereithält. Der Kerzenhalter soll aus Marmor gefertigt werden. 1 Kubikzm des verwendeten Marmors hat eine Masse von
- 2,7 g. Berechne die Masse des Kerzenhalters runde auf ganze Gramm. Okay, wir haben ja das Volumen unseres Kerzenhalters, können wir hier schon mal
- benutzen, denn hier ist ja jetzt gegeben, dass 1 Kubikzim ähm des Marmors eine Masse hat von 2,7 g. Wir haben aber nicht nur 1 Kubikzm,
- sondern eben die 141,21 Kubikzm. Und dann können wir einfach berechnen, wie viel Gramm das entspricht. Im Grunde ist es einfach nur
- Dreisatz. Die Zahlen sind sehr schön. Wir können auf der linken Seite einfach einmal die 141,21
- rechnen. Und dasselbe machen wir auf der anderen Seite mal die 141,21. Wenn wir das machen, kommen wir erstmal auf 381,267
- g. Wir sollen auf ganze Gramm Runden, das ist dann noch das letzte, also auf ganze Gramm Runden auf die Einer. Das heißt, wir gucken uns diese Zahl hier
- an, die sagt abrunden. Wir bleiben also bei 381 g und damit haben wir die Aufgabe erledigt. Schreibt gerne mal in die
- Kommentare, wie ihr die Aufgabe fandet, so einer Abschlussprüfung. Ähm, ich bin gespannt auf eure Einschätzung. Euch noch einen wunderschönen Tag und wir
- sehen uns dann beim nächsten Video. Macht's gut.