Parameterform in Normalenform

brucelee

30 April 2023

#Analytische Geometrie, #Ebenen, #Vektoren, #Abitur

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Erklärung

Bestimme einen Vektor $n$, der auf beide Spannvektoren orthogonal steht, d.h. das folgende Gleichungssystem erfüllt:

$$ u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0 $$ $$ v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0 $$

Somit ist die Normalenform gegeben durch: $$ (x-p) \cdot n = 0 $$

wobei $p$ der Stützvektor aus der Parameterform ist.

Beispiel

Sei $ E : \vec{x} = \left(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ 8 \end{matrix}\right) $

Dann:

1. Schritt $$ 4n_1 + 7n_2 + 1n_3 = 0 \\ 4n_1 - 5n_2 + 8n_3 = 0 $$
2. Schritt $$ 4n_1 + 7n_2 + 1n_3 = 0 \\ 0n_1 - 12n_2 + 7n_3 = 0 $$
3. Schritt $$ 4n_1 + 7n_2 + 1n_3 = 0 \\ n_2 = \frac{7}{12} $$

Wä:hle $n_3 = 12$, dann folgt $n_2 = 7$ und $$ 4 \cdot n_1 - 5 \cdot 7 + 8 \cdot 12 = 0 \Leftrightarrow n_1 = -\frac{61}{4} = -15, 25 $$

Somit ist die Normalenform:

$$ \left[\vec{x} - \left(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] \bullet \left(\begin{matrix} -15.25 \\ 7 \\ 12 \end{matrix} \right) = 0 $$

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