Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Definition und Beispiel

Bei einer kranken Person schlägt ein Grippeschnelltest mit Wahrscheinlichkeit $0,9$ an. Bei einer gesunden Person kann der Test allerdings ebenfalls anschlagen, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,2$. Wenn nun $1%$ aller Personen in einer Population tatsächlich krank sind, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer zufällig gewählten Person anschlägt?

Lösung 

Wir legen zunächst passende Ereignisse fest:

• $A$ = Person wird positiv getestet
• $B_1$ = Person hat Grippe
• $B_2$ = Person hat keine Grippe

Also sind die Ereignisse $B_1$ und $B_2$ disjunkt, d.h. $B_1 \cap B_2 = \emptyset$, und es gilt $ \Omega = B_1 \cup B_2$. Laut Aufgabenstellung gilt $$ P(A|B_1) = 0.9 \\ P(A|B_2) = 0,2 $$

Da zusätzlich noch bekannt ist, dass $1%$ aller Personen krank sind, gilt außerdem: $$ P(B_1) = 0,01 \\ P(B_2) = 1 - 0,01 = 0,99 $$

Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit folgt: $$ P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)= 0,9 \cdot 0,01 + 0,2 \cdot 0,99 = 0,207 $$

Eine Person wird also mit Wahrscheinlichkeit 20,7% positiv getestet.