Logische Operatoren einfach erklärt

Super Mario

18 Januar 2024

#Logik, #Abitur

☆ 40% (Anzahl 2), Kommentare: 0

Erklärung

Logische Operatoren

Für logische Operationen gelten die folgenden Identitäten.

Assoziativgesetze

$$ (A \wedge B) \wedge C = A \wedge (B \wedge C) \\ (A \vee B) \vee C = A \vee (B \vee C) $$

Kommutativgesetze

$$ A \wedge B = B \wedge A \\ A \vee B = B \vee A $$

De Morgansche Regeln

$$ \neg (A \wedge B) = (\neg A) \vee (\neg B) \\ \neg (A \vee B) = (\neg A) \wedge (\neg B) $$

Distributivgesetze

$$ (A \wedge B) \vee C = (A \vee C) \wedge (B \vee C) \\ (A \vee B) \wedge C = (A \wedge C) \vee (B \wedge C) $$

Negationen

$$ \neg (\neg A) = A \\ A \wedge A = A \\ A \vee A = A $$

Implikation

$$ A \Rightarrow B \quad = \quad \neg A \vee B = \neg A \Leftarrow \neg B $$

Äquivalenz

$$ A \Leftrightarrow B \quad = (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B) $$

Antivalenz

$$ A \neq B \quad = (A \wedge \neg B) \vee (\neg A \wedge B) $$

Weitere Formen

$$ A \vee \neg A = w \textrm{ oder } A \wedge \neg A = f \\ A \vee w = w \textrm{ oder } A \wedge w = A \\ A \vee f = A \textrm{ oder } A \wedge f = f $$

Erklärung

Beispiel: logischen Ausdruck vereinfachen

Als Beispiel wird der Ausdruck $$ L : (A \vee B) \Rightarrow (\neg A \wedge B) $$

vereinfacht. Ersetzen der Implikation und Anwendung der Morganschen Regeln ergibt $$ \neg (A \vee B) \vee (\neg A \wedge B) = (\neg A \wedge \neg B) \wedge (\neg A \wedge B) $$

Nach dem Distributivgesetz ist dieser Ausdruckäquivalent zu $$ \neg A \wedge (\neg B \vee B) $$

Man erkennt, dass der Wahrheitswert von B irrelevant ist und $$ L = \neg A $$

Alternativ kann man zur Untersuchung des logischen Ausdrucks L auch eine Wahrheitstabelle verwenden.

Es folgt ebenfalls $L = \neg A$.

Bild

Erklärung

Beispiel: Anwendung logische Wahrheitstabelle

Die De Morganschen Regeln und die Distributivgesetze lassen sich zeigen, indem man alle Möglichkeiten für die Wahrheitswerte der Aussagen untersucht.
De Morganschen Regeln: $$ \neg (A \wedge B) = (\neg A) \vee (\neg B) \\ \neg (A \vee B) = (\neg A) \wedge (\neg B) $$ Für die erste De Morgansche Regel ist dies in der folgenden Tabelle illustriert.

Die äquivalenten Beschreibungen für die Implikation, die Äquivalenz und die Antivalenz folgen unmittelbar aus den Definitionen.

Bild