Grenzwerte einer Funktion

Grenzwert einer Funktion für $x \rightarrow \pm \infty$

Grenzwert waagrechte Asymptote einer Funktion (Bild oben) $f(x) = 3 - \frac{6}{x+1}$

• Eine Funktion $f$ strebt für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ gegen den Grenzwert (lat. limes) $a$, wenn die Funktionswerte $f(x)$ für genügend kleine bzw. große $x$ beliebig nahe an die Zahl $a$ herankommen.
• Schreibweise: $$ \underset{x \rightarrow - \infty }{lim} f(x) = a, \qquad \underset{x \rightarrow + \infty }{lim} f(x) = a $$ 
• Das Schaubild von $f$ besitzt dann für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ eine waagrechte Asymptote y = a.
• Man kann auch wie folgt definieren: Die Funktion $f(x)$ hat für $\left\{\begin{matrix} x \rightarrow +\infty \\ x \rightarrow - \infty \end{matrix} \right\}$ den Grenzwert (Limes) $a$, wenn für jedes noch so kleine vorgegebene $ \epsilon \gt 0 $ ein entsprechendes $x_{\epsilon}$ existiert, so dass für alle $\left\{\begin{matrix} x \gt x_{\epsilon}\\ x \lt x_{\epsilon} \end{matrix} \right\} $ der Abstand $|f(x) - a| \lt \epsilon$ wird.

Grenzwert einer Funktion für $x \rightarrow x_0 $

• Die Funktion $f$ hat für $x \rightarrow x_0 $ den Grenzwert $a$, falls die Funktionswerte $f(x)$ "beliebig nahe" an die Zahl $a$ herankommen, wenn $x$ gegen $x_0$ läuft.
• Schreibweise: $\underset{x \rightarrow - x_0 }{lim} f(x) = a$

Beispiel (Grafik unten): $f(x) = \frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$ 

• Definitionsbereich: $D_f = \mathbb{R} \setminus {-1;1}$
• An den Stellen $x_1 = 1$ und $x_2 = -1$ existieren keine Funktionswerte. Wie verhalten sich die Funktionswerte in der Umgebung von $x_1 = 1$ und $x_2 = -1$?
• Untersuchung der Funktionswerte in der Umgebung von $x_1 = 1$
• links von $1 \rightarrow x \lt 1$: $f(0,9) = 2,05$, $f(0,999) = 2,0005$
• rechts von $1 \rightarrow x \gt 1$: $f(1,1) = 1,95$,$f(1,001) = 1,9995$
• Damit gilt: $\underset{x \rightarrow 1 }{lim} f(x) = 2$
• Je näher die x-Werte bei $x = 1$ liegen, um so näher liegen die Funktionswerte bei $f(x) = 2$. Diesen Funktionswert nennt man Grenzwert der Funktion an der Stelle $x = 1$.
• Untersuchung der Funktionswerte in der Umgebung von $x_2 = -1$
• links von $-1 \rightarrow x \lt -1$: $f(-1,1) = -19$,$f(-1,001) = -1999$. Damit gilt: $\underset{x \rightarrow - 1 \\ x \lt -1 }{lim} f(x) = - \infty$
• rechts von $-1 \rightarrow x \gt -1$: $f(-0,9) = 21$,$f(-0,999) = 2001$. Damit gilt: $\underset{x \rightarrow - 1 \\ x \gt -1 }{lim} f(x) = + \infty$

Grenzwerte Rechenregeln

• $ \underset{x \rightarrow x_0}{lim} f(x) = f, \qquad \underset{x \rightarrow x_0}{lim} g(x) = g $
• $ \underset{ x \rightarrow x_0}{lim} \left(f(x) \pm g(x) \right) = \underset{x \rightarrow x_0}{lim} f(x) \pm \underset{x \rightarrow x_0}{lim} g(x) = f \pm g $
• $ \underset{ x \rightarrow x_0}{lim} \left(f(x) \cdot g(x) \right) = \underset{x \rightarrow x_0}{lim} f(x) \cdot\underset{x \rightarrow x_0}{lim} g(x) = f \cdot g $
• $ g(x) \neq 0: \quad \underset{x \rightarrow x_0}{lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \rightarrow x_0}{lim} f(x)}{\underset{x \rightarrow x_0}{lim} g(x)} = \frac{f}{g} $