Grafisches Ableiten Schritt-für-Schritt Vorgehen

Grafisches Ableiten Schritt-für-Schritt Vorgehen

Ableitung von Funktionen

1. Zuerst suche in der Originalfunktion die Maxima, Minima und eventuelle Wendestellen. 
2. Dann zeichne in der 1. Ableitung bei jedem x-Wert wo f ein Maximum oder Minimum hat eine Nullstelle ein.
3. In der 1. Ableitung muss bei jedem x-Wert wo f eine Wendestelle hat ein Maximum oder ein Minimum sein.
4. Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
   • $f(x)$ Maximum, Minimum = $f'(x)$ Nullstelle
   • $f(x)$ Wendestelle = $f'(x)$ Maximum oder Minimum
   • Steigung positiv = $f'(x)$ hat positive y-Werte
   • Steigung negativ = $f'(x)$ hat negative y-Werte

Untersuchung einer Funktion anhand des Graphen

Lösung

1. Lösung in der Aufgabe als Grafik unten.
2. $f'(x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_1= 0$, da $f(x)$ bei $x_1$ eine waagrechte Tangente hat und dort monoton fällt
3. $f(x)$ hat drei Stellen mit waagrechter Tangente und $f'(x)$ hat damit drei Nullstellen
4. Der Graph von $f'(x)$ hat im Intervall $]- \infty; 0]$ keinen Hochpunkt, denn es gibt in diesem Intervall keine "steilste" Stelle des Graphen von $f(x)$
5. Der Graph von $f'(x)$ hat im Intervall $]- \infty; 0]$ einen Tiefpunkt, denn es gibt in diesem Intervall für den Graphen eine Stelle mit "maximaler negativer" Steigung
6. Die Graphen von $f(x)$ und $f'(x)$ schneiden sich im Intervall $[0 ; 2,5]$ genau einmal, denn $f'(x)$ nimmt in $[1,5 ; 2,2]$ von ca. -1,5 auf ca. 0 monoton zu während $f'(x)$ in diesem Intervall von 0 auf ca. -1 abnimmt.