Stammfunktion bilden mit Beispielen

29 August 2020
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Erklärung

Zu jeder Funktion $f$ gibt es nicht nur eine Stammfunktion $F$. Für jede Konstante $C$ ist nämlich die Funktion $F(x)+C$ genauso eine Stammfunktion, da ja die Ableitung von $F + C$ auch wieder $f$ ergibt: $$ [F + C ]' = [F]' + [C]' = f + 0 = f $$ Deshalb steht bei den folgenden Integrationsregeln die Konstante $C$ hinter den Integralen. (Bei den Beispielen unten wurde $C$ weggelassen).

 

Stammfunktion der konstanten Funktion

Stammfunktion von (verallgemeinerten) Potenzfunktionen

Stammfunktion von Exponentialfunktionen

Stammfunktion einer mit einer Zahl k multiplizierten Funktion f

Stammfunktion einer Summe

Stammfunktion eines Produkts

 

Stammfunktion der konstanten Funktion

Für die Stammfunktion der konstanten Funktion $f(x)=a$ gilt: $$ \int{adx}=ax + C $$

 

Stammfunktion von (verallgemeinerten) Potenzfunktionen

Für die Stammfunktion von Potenzfunktionen gilt: $$ \int{(ax+b)^n dx}= \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \textrm{ fü } n \neq - 1 $$

$$ \begin{aligned} \int{x^n}dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} \\ \int{x^4}dx &= \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{1}{5}x^5 \\ \int{\frac{1}{x^2}}dx &= \int{x^{-2}}dx= \frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x} \\ \int{\sqrt{x} } &= \int{x^{\frac{1}{2} }} = \frac{x^{\frac{1}{2}+1 }}{\frac{1}{2}+1 } = \frac{x^{\frac{3}{2} }}{\frac{3}{2} } = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} =\frac{2}{3}x\sqrt{x} \\ \int{(5x+2)^3}dx &= \frac{(5x+2)^{3+1}}{5(3+1)} = \frac{1}{20}(5x+2)^4 \\ \int{\frac{1}{(1-\frac{2}{3}x )^3} dx} &= \int{(1-\frac{2}{3}x)^{-3}dx} = \frac{(1-\frac{2}{3}x)^{-3+1}}{-\frac{2}{3}(-3+1) } \\ &=\frac{1}{\frac{4}{3}(1-\frac{2}{3}x )^2 }=\frac{3}{4(1-\frac{2}{3}x)^2} \end{aligned} $$

 

Stammfunktion von Exponentialfunktionen

Für die Stammfunktion von Exponentialfunktionen gilt: $$ \int{e^{ax+b} dx}= \frac{1}{a}e^{ax+b} + C $$

$$ \begin{aligned} \int{e^xdx} &= e^x \\ \int{e^{\frac{1}{7}dx}} &=\frac{1}{\frac{1}{7}}e^{\frac{1}{7}x }= 7e^{\frac{1}{7}x} \\ \int{e^{2-6x}}dx &= -\frac{1}{6}e^{2-6x} \end{aligned} $$

 

Stammfunktion einer mit einer Zahl k multiplizierten Funktion f

Für die Stammfunktion einer mit einer Zahl $k$ multiplizierten Funktion $f$ gilt: $$ \int{kf(x) dx}= k\int{f(x) dx} + C $$

$$ \begin{aligned} \int{5e^{x+1}}dx &= 5\int{e^{x+1}}dx = 5e^{x+1} \\ \int{6x^5}dx &= 6 \int{x^5}dx = 6\frac{x^6}{6} = x^6 \end{aligned} $$

 

Stammfunktion einer Summe

Für die Stammfunktion einer Summe gilt: $$ \int{f(x) + g(x) dx}= \int{f(x)dx} + \int{g(x)dx}+ C $$

$$ \begin{aligned} \int{5x^4 - 2kx + 3 }dx &= x^5 - kx^2 + 3x \\ \int{10e^{-x+2}}dx &= -10e^{-x+2} - \frac{1}{10}x^4 \end{aligned} $$

 

Stammfunktion eines Produktes

Für die Stammfunktion eines Produktes gilt: $$ \int{f'(x)g(x)}dx = f(x)g(x) - \int{f(x)g'(x)}dx + C $$

Beim Integrieren eines Produkts (auch partielle Integration genannt) bezeichnest du einen Faktor des Produkts mit $f'(x)$ und den anderen Faktor mit $g(x)$. Danach bestimmst du $f(x)$ (das ist die Stammfunktion von $f'(x)$) und die Ableitung $g'(x)$ von $g(x)$ und wendest damit die obige Formel an.

Von deiner Bezeichnung der Faktoren hängt auch das zweite Integral in der Formel ab. Du musst die Bezeichnung der Faktoren also so wählen, dass du dieses dann auch noch bestimmen kannst.

Beim Integral $\int{2xe^{3x}}$ wählen wir zunächst $f'(x) = 2x$ und $g(x) =e^{3x}$. Damit folgt $f(x) = x^2$ und $g'(x) = 3e^{3x}$ und dann mit obiger Formel: $$ \int{2xe^{3x}}dx = x^2e^{3x} - \int{x^2 \cdot 3e^{3x}} dx $$

Das zweite Integral ist übler als das ursprünglich zu bestimmende - falscher Weg! Deshalb bezeichnen wir die Faktoren jetzt mit $f'(x) = e^{3x}$ und $g(x) = 2x$. Daraus folgt $f(x) = \frac{1}{3}e^{3x}$, $g'(x) = 2$ und damit: $$ \begin{aligned} \int{2xe^{3x}}dx &= \frac{1}{3}e^{3x} \cdot 2x - \int{\frac{1}{3}e^{3x} \cdot 2}dx \\ &= \frac{2}{3}xe^{3x} - \int{\frac{2}{3}e^{3x}} \\ &= \frac{2}{3}xe^{3x} - \frac{2}{9}e^{3x} \end{aligned} $$

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