Uneigentliche Integrale Erklärung mit Beispiel
Integrale, die einen Grenzwert haben wenn die obere oder untere Grenze variabel ist und gegen Unendlich läuft, nachdem sie in die Stammfunktion eingesetzt worden ist, sind sogenannte uneigentliche Integrale.
Die Berechnung läuft dann darauf raus, dass man die Stammfunktion auf Grenzwerte bzw. waagrechte Asymptoten untersucht.
Mit uneigentlichen Integralen lassen sich z.B. Flächen ausrechnen, die sich unendlich weit ausdehnen, aber trotzdem einen endlichen Inhalt haben, weil sie immer schmaler werden.
Für die Fläche $A$ zwischen zwei aufeinander zulaufenden Funktionen $f$ und $g$, die sich von der Geraden $x = a$ bis ins Unendliche erstreckt, wird dann die folgende Schreibweise verwendet: $$ A= \left|\int_{a}^{\infty}{f(x) - g(x)} dx \right| $$
Beispiel
Es wird die Fläche berechnet, die zwischen der $x$-Achse und der Exponentialfunktion $f(x) = e^{-x}$ liegt, nach links durch die $y$-Achse begrenzt ist und sich nach rechts unendlich weit ausdehnt. Dazu berechnen wir zuerst das bestimmte Integral mit der variablen oberen Grenze $t$: $$ \int_{0}^{t}{e^{-x}}dx= \left[-e^{-x}\right]^{t}_{0} = -e^{-t}+1 $$
Für die Fläche bzw. das uneigentliche Integral gilt dann: $$ A = \left|\int_{a}^{\infty}{e^{-x}} dx \right| \\ = \left|\underset{t\rightarrow \infty }{lim} \left(-e^{-t}+1\right) \right| \\ =1 $$
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