Gini-Index: Ungleichheit verstehen und berechnen

Der Gini-Index, auch Gini-Koeffizient genannt, misst die Ungleichheit einer Verteilung. Hier betrachten wir Einkommen. Alle Einkommen sind mindestens null, und ihre Gesamtsumme ist größer als null. Jede Person zählt gleich viel. Für diese Voraussetzungen gelten die folgenden Regeln.

Auf der Skala von 0 bis 1 bedeutet 0: Alle erhalten gleich viel. Bei gleicher Berechnung bedeutet ein größerer Gini-Wert mehr Ungleichheit nach diesem Maß. Für die Skala von 0 bis 100 multiplizierst du den Wert mit 100. Zurück rechnest du durch 100. Zum Beispiel gilt: 0{,}35 \cdot 100 = 35 und 35 / 100 = 0{,}35.

Beim oberen Ende musst du die Berechnung beachten. Der unkorrigierte Gini aus der Flächenberechnung erreicht bei einer endlichen Personenzahl den Wert 1 nicht. Erhält eine von n Personen alles, beträgt sein größter Wert (n-1)/n. Dabei ist n die Anzahl der Personen. Bei zwei Personen ist dieser Wert 0{,}5. Mit wachsender Personenzahl nähert sich die mögliche Obergrenze dem Wert 1.

Daneben gibt es eine gesondert korrigierte Berechnung. Sie multipliziert den unkorrigierten Wert mit n/(n-1) und ermöglicht so bei mehr als einer Person den Endwert 1. Beim Vergleich müssen beide Werte dieselbe Korrektur verwenden. Ein Wert von 35 auf der 100er-Skala bedeutet keinen Anteil von Menschen mit zu wenig Geld zum Leben. Für einen solchen Anteil brauchst du eine festgelegte Geldgrenze und passende Einkommensdaten.

Die Lorenzkurve zeigt, welcher Anteil der Personen welchen Anteil des gesamten Einkommens erhält. Dafür ordnest du die Personen vom niedrigsten zum höchsten Einkommen. Dann addierst du Personen und Einkommen schrittweise. Dieses fortlaufende Zusammenzählen heißt aufsummieren.

Die waagerechte Achse heißt x-Achse. Sie zeigt den aufsummierten Personenanteil. Die senkrechte Achse heißt y-Achse und zeigt den aufsummierten Einkommensanteil. Beide reichen hier von 0 bis 1. Ein Anteil von 0{,}2 entspricht 20 %. Das Zeichen % bedeutet Prozent, also Hundertstel. In einem Punkt (x\mid y) steht zuerst der Personenanteil und dann der Einkommensanteil.

Die Kurve beginnt bei (0\mid0) und endet bei (1\mid1). In dieser Lektion verbinden gerade Strecken die angegebenen Punkte. Bei gleichen Einkommen verläuft die Kurve gerade zwischen Anfang und Ende. Diese Linie heißt Gleichverteilungslinie. Bei unseren Voraussetzungen liegt die Lorenzkurve auf oder unter dieser Linie. Die einkommensschwächsten Personen erhalten also höchstens ihren entsprechenden Anteil am Gesamteinkommen.

Ein Punkt beschreibt die Personen mit den niedrigsten Einkommen und ihren gemeinsamen Einkommensanteil. Die übrigen Personen erhalten den Rest. Beide Restanteile berechnest du durch Abziehen von 100 %. Für den Gini zählt die gesamte Fläche zwischen Lorenzkurve und Gleichverteilungslinie: Je größer diese Fläche ist, desto größer ist der unkorrigierte Gini. Ein einzelner Punkt genügt dafür nicht.

Für die Flächenberechnung müssen beide Achsen Dezimalanteile von 0 bis 1 zeigen. Unter jeder Verbindungsstrecke liegt ein Streifen. Seine obere Kante verläuft gerade. Er bildet ein Trapez; beginnt er mit der Höhe null, ist er ein Dreieck. Die Fläche erhältst du aus der Breite mal dem Durchschnitt der beiden Höhen.

Nenne die Breite b, die linke Höhe h_1, die rechte Höhe h_2 und die Streifenfläche T. Die Breite ist der rechte Personenanteil minus der linke Personenanteil. Die Höhen sind die Einkommensanteile an diesen beiden Stellen. Es gilt: T = b \cdot (h_1+h_2)/2. Addiere anschließend alle Streifenflächen. Ihre Summe heißt B und ist die gesamte Fläche unter der verbundenen Lorenzkurve.

Unter der Gleichverteilungslinie liegt ein Dreieck mit Breite 1 und Höhe 1. Seine Fläche beträgt 1 \cdot 1 / 2 = 0{,}5. Die Fläche zwischen dieser Linie und der Lorenzkurve ist deshalb 0{,}5-B. Der Gini vergleicht diese Zwischenfläche mit der Fläche 0{,}5. Mit G als Zeichen für den unkorrigierten Gini gilt: G = (0{,}5-B)/0{,}5 = 1-2\cdot B.

Diese Formel enthält keine zusätzliche Korrektur für die Personenzahl. Sind mehrere Personen zu Gruppen zusammengefasst, berechnest du damit den Gini der geraden Verbindungen zwischen den Gruppenpunkten. Unterschiede innerhalb einer Gruppe bleiben verborgen. Gegenüber genaueren Einzeldaten kann der berechnete Gini dadurch zu niedrig ausfallen.

Bringe Vergleichswerte zuerst auf dieselbe Skala. Prüfe dann, welche Personen, welcher Zeitraum und welche Art von Einkommen erfasst wurden. Einkommen vor Steuern sind etwas anderes als Einkommen nach Steuern und staatlichen Geldhilfen. Steuern sind Zahlungen an den Staat; staatliche Geldhilfen sind Zahlungen vom Staat. Auch die Korrektur für die Personenzahl und die Zusammenfassung zu Gruppen müssen zusammenpassen.

Bei passenden Grundlagen bedeutet ein größerer Gini mehr Ungleichheit nach diesem Maß. Sehr grobe Gruppen können jedoch Unterschiede innerhalb der Gruppen verbergen. Deshalb kann eine scheinbare Veränderung auch durch eine andere Berechnung entstehen. Die folgenden Länder und Zahlen sind vollständig erfunden und keine Messwerte: Für Faron und Nelin betrachten wir das erfundene Vergleichsjahr 2030. In beiden Fällen zählen alle Personen gleich. Erfasst werden nichtnegative Jahreseinkommen nach Steuern und staatlichen Geldhilfen, mit positiver Gesamtsumme, als Einzeldaten und ohne zusätzliche Korrektur.

Ein Gini-Wert verrät nicht, wie viele Euro die Menschen erhalten. Werden sämtliche Einkommen mit derselben positiven Zahl multipliziert, bleiben ihre Anteile am Gesamteinkommen gleich. Damit bleibt auch der Gini gleich. Aus ihm allein folgt weder die Höhe der Einkommen noch der Anteil der Menschen mit zu wenig Geld zum Leben.

Verschiedene Verteilungen können denselben Gini haben. Du kennst dann die Ungleichheit nach diesem Maß, aber nicht die genauen Anteile einzelner Personengruppen. Schneiden sich zwei Lorenzkurven, liegt mal die eine und mal die andere tiefer. Daraus allein kannst du keine Rangfolge der Gini-Werte ablesen. Dafür musst du die gesamten Flächen vergleichen.