Zahlensysteme: Binär, Dezimal und Hexadezimal
Du lernst, wie Stellen den Wert einer Ziffer bestimmen, wandelst Zahlen um und erklärst kleine Abweichungen bei gespeicherten Kommazahlen.
Kurz gesagt
Binär, Dezimal und Hexadezimal sind Zahlensysteme mit 2, 10 und 16 Ziffernzeichen. Die Stelle einer Ziffer bestimmt ihren Beitrag zum Zahlenwert. Die Dezimalzahl 0,1 lässt sich binär mit endlich vielen Stellen nach dem Komma nicht genau darstellen.
Eine Ziffer ist ein einzelnes Zeichen einer Zahlenschreibweise. Dieselbe Zahl kann in verschiedenen Zahlensystemen unterschiedlich aussehen. Du lernst, solche Schreibweisen zu lesen und ineinander umzuwandeln.
Deine Lernziele
Der Ziffernvorrat enthält alle erlaubten Ziffern eines Zahlensystems. Die Basis nennt ihre Anzahl. Das Dezimalsystem hat die Basis 10 und nutzt die Ziffern 0 bis 9. Das Binärsystem hat die Basis 2 und nutzt 0 und 1. Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16 und nutzt 0 bis 9 sowie A bis F.
Die Buchstaben sind dabei ebenfalls Ziffernzeichen: A steht für 10, B für 11, C für 12, D für 13, E für 14 und F für 15.
Bei Zahlen ohne Komma hat die rechte Stelle den Stellenwert 1. Nach links wird jeder nächste Stellenwert mit der Basis multipliziert, also malgenommen. Im Dezimalsystem folgen von rechts die Stellenwerte 1, 10, 100 und 1.000. Im Binärsystem folgen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 und 128. Im Hexadezimalsystem beginnen sie mit 1, 16 und 256.
Jede Ziffer zählt so oft, wie ihr Wert angibt: Du rechnest Ziffer mal Stellenwert. Alle Beiträge zusammen ergeben den Zahlenwert. Eine 0 trägt an ihrer Stelle nichts zum Wert bei.
Eine kleine Zahl rechts unten kennzeichnet die Basis: 10_2 ist binär, 10_{10} dezimal und 10_{16} hexadezimal geschrieben. Diese drei Schreibweisen haben unterschiedliche Werte. Ohne eine solche Kennzeichnung sind Zahlen in dieser Lektion Dezimalzahlen.
Stellenwert
Der Stellenwert gibt an, wie viel eine 1 an einer bestimmten Stelle zählt. Im Binärsystem zählt eine 1 an der dritten Stelle von rechts vier.
| Zahlensystem | Basis | Erlaubte Ziffern |
|---|---|---|
| Dezimalsystem | 10 | 0 bis 9 |
| Binärsystem | 2 | 0 und 1 |
| Hexadezimalsystem | 16 | 0 bis 9 und A bis F |
Teste dich
Natürliche Zahlen sind hier die ganzen Zahlen ab 0: also 0, 1, 2, 3 und so weiter. Zahlen mit Komma und Zahlen kleiner als 0 gehören hier nicht dazu.
Vom Binärsystem ins Dezimalsystem gehst du Stelle für Stelle vor. Ordne von rechts die Stellenwerte 1, 2, 4, 8 und so weiter zu. Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert und addiere die Beiträge. Bei einer 1 zählt der Stellenwert mit, bei einer 0 nicht.
Vom Dezimalsystem ins Binärsystem teilst du die Zahl wiederholt durch 2. Notiere jeweils das ganze Ergebnis und den Rest. Der Rest ist 0 oder 1. Teile dann das ganze Ergebnis weiter durch 2. Höre auf, sobald das ganze Ergebnis 0 ist. Lies die notierten Reste von unten nach oben. Diese Reihenfolge ergibt die Binärzahl.
Beispiel: Eine Binärzahl als Dezimalzahl lesen
- 1Gesucht ist der Wert von 1101_2.
- 2Die Stellenwerte von links sind hier 8, 4, 2 und 1.
- 3Die Beiträge sind 1\cdot 8, 1\cdot 4, 0\cdot 2 und 1\cdot 1.
- 48+4+0+1=13. Die Binärzahl 1101_2 steht für die Dezimalzahl 13.
Beispiel: 22 ins Binärsystem umwandeln
- 122:2 ergibt 11 mit Rest 0.
- 211:2 ergibt 5 mit Rest 1.
- 35:2 ergibt 2 mit Rest 1.
- 42:2 ergibt 1 mit Rest 0.
- 51:2 ergibt 0 mit Rest 1. Jetzt endet das Teilen.
- 6Von unten nach oben gelesen lauten die Reste 10110. Also wird 22 als 10110_2 geschrieben.
Merke: Beim Teilen schreibst du die Reste von oben nach unten auf, liest sie aber von unten nach oben. Die Zahl 0 schreibst du direkt als 0_2.
Teste dich
Ein Bit ist eine einzelne Binärziffer, also eine 0 oder eine 1. Vier Binärstellen haben innerhalb ihrer Gruppe von links die Stellenwerte 8, 4, 2 und 1. Damit kannst du jeden ganzen Wert von 0 bis 15 darstellen. Genau dafür reicht eine Hexadezimalziffer: 0 bis 9 oder A bis F.
Teile eine natürliche Binärzahl von rechts in Vierergruppen ein. Fehlen links Stellen für eine vollständige Gruppe, ergänze dort Nullen. Solche führenden Nullen ändern den Wert nicht, denn sie tragen nichts zur Summe bei. Rechts darfst du beim Umwandeln einer natürlichen Zahl keine Nullen anhängen: Das würde die Stellen der vorhandenen Ziffern verschieben und meist den Wert ändern.
Ersetze jede Vierergruppe durch die passende Hexadezimalziffer. Behalte die Reihenfolge der Gruppen bei. Auch innerhalb jeder Gruppe bleibt die Reihenfolge der Binärziffern erhalten.
| Vier Binärstellen | Dezimalwert | Hexadezimalziffer |
|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | 8 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | 10 | A |
| 1011 | 11 | B |
| 1100 | 12 | C |
| 1101 | 13 | D |
| 1110 | 14 | E |
| 1111 | 15 | F |
Beispiel: Eine Binärzahl mit sieben Stellen umwandeln
- 1Gesucht ist die Hexadezimalschreibweise von 1110010_2.
- 2Ergänze links eine Null. So erhältst du 01110010_2 mit demselben Wert.
- 3Die Vierergruppen sind 0111 und 0010.
- 40111 steht für 7, und 0010 steht für 2.
- 5Die Hexadezimalschreibweise lautet 72_{16}.
Teste dich
Nachkommastellen sind die Stellen rechts vom Komma. Auch sie haben Stellenwerte. Im Binärsystem wird der Stellenwert nach rechts jeweils halbiert. Direkt nach dem Komma zählen die Stellen 0,5, dann 0,25, dann 0,125, dann 0,0625 und so weiter. Darum steht 0{,}1_2 für die Dezimalzahl 0,5. Die Dezimalzahl 0,1 ist etwas anderes.
Die genaue Binärdarstellung der Dezimalzahl 0,1 lautet 0{,}0001100110011\ldots_2. Die drei Punkte bedeuten, dass die Stellenfolge unendlich weitergeht. Nach der ersten Null hinter dem Komma wiederholt sich die Gruppe 0011. Es folgen also auch nach jeder noch so spät gewählten Stelle weitere Einsen, die zum Wert beitragen.
Mit endlich vielen binären Nachkommastellen lässt sich 0,1 deshalb nicht genau darstellen. Ein Speicher, der diese Darstellungsart mit endlich vielen Stellen nutzt, muss eine Näherung speichern, also einen fast genauen Wert. Beim Runden wählt man einen nahegelegenen darstellbaren Wert. Die Abweichung vom genauen Wert heißt Rundungsfehler.
Wenn du bei der Binärdarstellung von 0,1 nach vier Nachkommastellen alle weiteren Stellen weglässt, bleibt 0{,}0001_2. Das steht für 0,0625 und ist kleiner als 0,1. Andere Kommazahlen haben dagegen eine genaue endliche Binärdarstellung.
Diese Grenze gilt für die beschriebene binäre Darstellung mit endlich vielen Stellen. Eine andere Darstellungsart kann 0,1 genau festhalten: Ein Bruch beschreibt eine Teilung. Du kannst die beiden ganzen Zahlen 1 und 10 zusammen mit der Bedeutung „1 geteilt durch 10“ speichern. Damit ist 0,1 genau beschrieben.
Beispiel: Eine genaue endliche Binärdarstellung lesen
- 1Betrachte die Binärzahl 0{,}101_2.
- 2Die drei Stellen nach dem Komma zählen von links 0,5, 0,25 und 0,125.
- 3Die Einsen zählen bei 0,5 und 0,125. Die mittlere 0 trägt nichts bei.
- 40{,}5+0{,}125=0{,}625. Also steht 0{,}101_2 genau für die Dezimalzahl 0,625.
Merke: 0,1 hat eine genaue unendliche Binärdarstellung, aber keine genaue endliche. Das schließt eine genaue Speicherung in einer anderen Darstellungsart, etwa als Bruch, nicht aus.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zahlensystem
Sie nennt die Anzahl der erlaubten Ziffern eines Zahlensystems.
Bei Zahlen ohne Komma beginnst du rechts mit 1 und multiplizierst nach links jeweils mit der Basis.
Binärziffern zählen mit ihren Stellenwerten. Beim Teilen durch 2 liest du die Reste von unten nach oben.
Vier Binärstellen ergeben eine Hexadezimalziffer. Fehlende Stellen ergänzt du links mit Nullen.
0,1 braucht für eine genaue Binärdarstellung unendlich viele Stellen nach dem Komma. Als Bruch lässt sich der Wert trotzdem genau beschreiben.
29 vom Dezimalsystem über Binär ins Hexadezimalsystem umwandeln
- 129:2 ergibt 14 mit Rest 1.
- 214:2 ergibt 7 mit Rest 0.
- 37:2 ergibt 3 mit Rest 1.
- 43:2 ergibt 1 mit Rest 1.
- 51:2 ergibt 0 mit Rest 1. Jetzt endet das Teilen.
- 6Lies die Reste von unten nach oben: 11101. Die Binärschreibweise lautet 11101_2.
- 7Ergänze links drei Nullen. Die Vierergruppen sind dann 0001 und 1101.
- 80001 steht für 1. 1101 steht für 13, also für die Hexadezimalziffer D.
- 9Die Hexadezimalschreibweise von 29 lautet 1D_{16}.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die Leserichtung der Reste ist vertauscht. Richtig: Du liest sie von unten nach oben. Die Binärschreibweise von 18 lautet 10010_2.
Lückentext
Im Binärsystem erhältst du den nächsten Stellenwert nach links durch Malnehmen mit . Für die Umwandlung einer natürlichen Binärzahl ins Hexadezimalsystem bildest du von rechts Gruppen aus Stellen. Bei der Dezimalzahl 0,1 liefert eine Speicherung mit endlich vielen binären Nachkommastellen eine .