e-Funktion ableiten: Kettenregel einfach erklärt
Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion. Du lernst, e-Funktionen mit der Kettenregel und, wenn nötig, mit Summen- und Produktregel abzuleiten.
Kurz gesagt
Die Ableitung von e^x ist wieder e^x. Steht im Exponenten ein Term u(x), gilt die Kettenregel: (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}. Der Exponent bleibt gleich, nur der Faktor u'(x) kommt dazu. Beispiel: (e^{3x})' = 3e^{3x}.
Wie schnell wächst eine Bakterienkultur gerade? Hinter solchen Modellen steckt oft eine e-Funktion, und die Antwort gibt ihre Ableitung. Das Gute: Beim Ableiten ist die e-Funktion besonders freundlich, denn e^x bleibt einfach e^x. Steht im Exponenten mehr als x, kommt ein Faktor dazu. Hier lernst du die Grundregel, die Kettenregel für e^{u(x)} und wann du zusätzlich Summen- oder Produktregel brauchst.
Deine Lernziele
Für die natürliche Exponentialfunktion gilt die Grundregel: Aus f(x) = e^x folgt f'(x) = e^x. Die Ableitungsfunktion ist also dieselbe Funktion wie die Ausgangsfunktion. Das bedeutet: An jeder Stelle x ist die Steigung f'(x) genauso groß wie der Funktionswert f(x). Bei x = 0 hat der Graph den Wert 1 und die Steigung 1. Ein konstanter Faktor vor e^x bleibt beim Ableiten einfach stehen.
Beispiel: f(x) = 4e^x ableiten
- 1Der Faktor 4 bleibt stehen.
- 2e^x bleibt e^x.
- 3f'(x) = 4e^x
Merke: Steht im Exponenten nur x, bleibt e^x beim Ableiten unverändert.
Teste dich
Bei e^{u(x)} ist der vollständige Exponent u(x) die innere Funktion, die e-Funktion ist die äußere Funktion. Gehe in vier Schritten vor. Erstens: Markiere den vollständigen Exponenten u(x). Zweitens: Berechne seine Ableitung u'(x). Drittens: Übernimm e^{u(x)} unverändert. Viertens: Multipliziere e^{u(x)} mit u'(x).
Kettenregel
Bei einer verketteten Funktion leitest du die äußere Funktion ab, setzt die innere Funktion wieder ein und multiplizierst mit der inneren Ableitung. Für die e-Funktion heißt das: (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}.
Beispiel: f(x) = e^{x^2+x} ableiten
- 1Vollständiger Exponent: u(x) = x^2 + x
- 2Innere Ableitung: u'(x) = 2x + 1
- 3f'(x) = (2x + 1)e^{x^2+x}
- 4Der Exponent bleibt vollständig erhalten.
Merke: Der häufigste Fehler ist ein fehlender Faktor u'(x). Kontrolliere deshalb nach jeder Rechnung: Habe ich den gesamten Exponenten abgeleitet?
Teste dich
Prüfe zuerst die Struktur des Terms. Bei einer Summe leitest du die Summanden einzeln ab. Ein konstanter Faktor bleibt erhalten. Bei einem Produkt zweier Faktoren, die beide von x abhängen, brauchst du die Produktregel (p \cdot q)' = p' \cdot q + p \cdot q'. Hat ein e-Faktor einen Exponenten, der nicht nur x ist, kommt innerhalb der Rechnung die Kettenregel dazu. Typische Fehler: nur einen Teil des Exponenten ableiten, den Kettenregelfaktor vergessen oder ein Minuszeichen übersehen. Alle Regeln im Überblick findest du unter Ableitungsregeln.
Beispiel: Summe: f(x) = e^{3x} + e^x
- 1Erster Summand, Kettenregel: (e^{3x})' = 3e^{3x}
- 2Zweiter Summand bleibt: (e^x)' = e^x
- 3f'(x) = 3e^{3x} + e^x
Beispiel: Produkt: f(x) = 3x^2 e^{-x}
- 1p(x) = 3x^2 und q(x) = e^{-x}
- 2p'(x) = 6x
- 3Kettenregel: q'(x) = -e^{-x}
- 4f'(x) = 6xe^{-x} - 3x^2 e^{-x}
- 5Das Minus stammt aus der Ableitung des Exponenten -x.
Teste dich
Alles auf einen Blick
e-Funktion ableiten
(e^x)' = e^x, konstante Faktoren bleiben stehen
(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}
der vollständige Exponent u(x)
jeden Summanden einzeln ableiten
Produktregel, den e-Faktor mit der Kettenregel
Exponent unverändert, Faktor und Vorzeichen geprüft
f(x) = (2x + 1)e^{3x} ableiten
- 1Produkt: p(x) = 2x + 1 und q(x) = e^{3x}
- 2p'(x) = 2
- 3Kettenregel: q'(x) = 3e^{3x}
- 4Produktregel: f'(x) = 2e^{3x} + (2x + 1) \cdot 3e^{3x}
- 5Ausklammern: f'(x) = (6x + 5)e^{3x}
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Faktor u'(x) fehlt: Die e-Potenz muss mit der inneren Ableitung multipliziert werden. Richtig ist f'(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}.
Lückentext
Die Ableitung von e^x ist . Bei e^{u(x)} multiplizierst du mit der Ableitung. Bei einem Produkt wie x^2 e^{-x} brauchst du zusätzlich die .