ln-Funktion: Eigenschaften, Ableitung und Anwendung
Du lernst, wie der Graph der ln-Funktion verläuft, wie du Definitionsbereich und Nullstelle bestimmst, sie ableitest und Gleichungen mit e^x löst.
Kurz gesagt
Die ln-Funktion f(x)=\ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion: \ln y ist der Exponent, mit dem e die Zahl y ergibt. Sie ist nur für x>0 definiert, hat die Nullstelle x=1 und steigt immer, aber immer flacher. Beispiel: \ln(e^2)=2.
Die ln-Funktion gibt an, welcher Exponent von e zu einer positiven Zahl führt. Deshalb ist sie die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion e^x. Auf dieser Seite lernst du, den Graphen zu beschreiben, Definitionsbereiche und Nullstellen zu bestimmen, ln-Funktionen abzuleiten und einfache Exponentialgleichungen zu lösen.
Deine Lernziele
Die Schreibweise \ln y bedeutet: Welcher Exponent von e ergibt y? Dabei ist e\approx2{,}71828 die Eulersche Zahl. Die beiden Umkehrbeziehungen lauten: e^{\ln x}=x\quad(x>0) \ln(e^x)=x
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e: \ln x=\log_e x Für reelle Zahlen ist er nur für x>0 definiert.
Beispiel: \ln(e^2), \ln(1) und \ln(e) bestimmen
- 1\ln fragt nach dem Exponenten zur Basis e.
- 2\ln(e^2)=2
- 3\ln(1)=0, weil e^0=1
- 4\ln(e)=1, weil e^1=e
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Der Ausdruck in der Klammer heißt Argument. Bei \ln(x+7) ist das Argument also x+7. Für eine reelle ln-Funktion muss das Argument immer echt positiv sein: g(x)>0. Für den Definitionsbereich von \ln(g(x)) setzt du deshalb g(x)>0, löst die Ungleichung nach x und notierst das Intervall. Eine ln-Funktion hat genau dann den Wert 0, wenn ihr Argument 1 ist: \ln(g(x))=0\iff g(x)=1
Beispiel: Definitionsbereich von f(x)=\ln(x-2)
- 1x-2>0
- 2x>2, also D=]2;\infty[
- 3Der Randwert 2 gehört nicht dazu: Dort wäre das Argument 0.
Beispiel: Nullstelle von f(x)=\ln(x+7)
- 1\ln(x+7)=0 heißt x+7=1
- 2x=-6
- 3Probe: \ln(-6+7)=\ln(1)=0
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Der Graph von f(x)=\ln x entsteht, wenn du den Graphen von e^x an der Geraden y=x spiegelst. Dabei tauschen Definitions- und Wertebereich ihre Rollen. Die Ableitung f'(x)=\frac1x erklärt den Verlauf: Für x>0 ist sie positiv, also steigt der Graph immer. Weil \frac1x mit wachsendem x kleiner wird, steigt er immer flacher. Für verkettete Funktionen \ln(g(x)) brauchst du die Kettenregel. Eine Stammfunktion von \ln x ist F(x)=x\ln x-x+C. Das prüfst du durch Ableiten: F'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x-1=\ln x.
| Eigenschaft | Graph von ln x |
|---|---|
| Definitionsbereich | D=]0;\infty[ |
| Wertebereich | W=\mathbb{R} |
| Nullstelle | (1 \mid 0) |
| Besonderer Punkt | (e \mid 1) |
| y-Achse | kein Schnittpunkt, senkrechte Asymptote x=0 |
| Verlauf | streng monoton steigend, immer flacher |
| Ränder | \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty und \lim_{x\to\infty}\ln x=\infty |
Merke: Für f(x)=\ln(g(x)) gilt im Definitionsbereich: f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} Du leitest also das Argument ab und teilst durch das ursprüngliche Argument.
Beispiel: f(x)=\ln(x^2+2) ableiten
- 1g(x)=x^2+2 und g'(x)=2x
- 2f'(x)=\frac{2x}{x^2+2}
- 3x^2+2>0 für alle reellen x, also sind f und f' überall definiert.
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Steht die Unbekannte im Exponenten, kannst du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwenden. Das Verfahren setzt voraus, dass die rechte Seite positiv ist. Eine Gleichung wie e^x=-2 besitzt keine reelle Lösung, weil e^x für jedes reelle x positiv ist.
Beispiel: e^x=21 lösen
- 1\ln(e^x)=\ln(21)
- 2x=\ln(21)
- 3Probe: e^{\ln(21)}=21
Beispiel: e^{4x}=9 lösen
- 1\ln(e^{4x})=\ln(9)
- 24x=\ln(9)
- 3x=\frac{\ln(9)}{4}
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Alles auf einen Blick
ln-Funktion
\ln y ist der Exponent zur Basis e, der y ergibt
e^{\ln x}=x und \ln(e^x)=x
Das Argument muss positiv sein
Argument gleich 1
f'(x)=\frac1x, steigend mit Asymptote x=0
Aus e^x=y mit y>0 folgt x=\ln y
3e^{2x}-1=11 lösen
- 13e^{2x}=12
- 2e^{2x}=4
- 32x=\ln(4)
- 4x=\frac{\ln(4)}{2}=\ln(2)\approx0{,}693
- 5Probe: 3e^{\ln(4)}-1=3\cdot4-1=11
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Für eine Nullstelle muss das Argument 1 sein, denn \ln(1)=0: 2x+6=1, also x=-2{,}5.
Lückentext
Der Graph von \ln x ist nur für Werte von x definiert. Seine Nullstelle liegt bei . Für x\to0^+ gilt .