Natürlicher Logarithmus: ln verstehen und anwenden
Du lernst, was ln bedeutet, wo die Funktion definiert ist, welche Rechengesetze gelten und wie du damit Exponentialgleichungen löst und ableitest.
Kurz gesagt
Der natürliche Logarithmus \ln y ist der Exponent, mit dem du e \approx 2{,}718 potenzieren musst, um y zu erhalten: e^x = y \Leftrightarrow x = \ln y. Er ist die Umkehrfunktion von e^x und nur für y > 0 definiert. Zum Beispiel ist \ln e = 1, weil e^1 = e.
Der natürliche Logarithmus beantwortet eine Exponentenfrage: \ln y ist genau die Zahl x, für die e^x=y gilt. Er ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e^x und im Reellen nur für positive Argumente definiert. Du brauchst ihn immer dann, wenn die Unbekannte im Exponenten steht, etwa bei Wachstum und Zerfall.
Deine Lernziele
Die Zahl e\approx 2{,}7182818 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Der Ausdruck \ln y fragt: Mit welchem Exponenten muss ich e potenzieren, damit y entsteht? Ein besonders wichtiger Wert ist \ln(1)=0, denn e^0=1. Ebenso gilt \ln e=1, denn e^1=e.
Natürlicher Logarithmus
Für y>0 gilt: e^x=y\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln y Darum heben sich Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus gegenseitig auf: \ln(e^x)=x e^{\ln y}=y\quad(y>0)
Beispiel: Gesucht ist der Exponent in e^x=30.
- 1\ln auf beide Seiten: \ln(e^x)=\ln 30
- 2Umkehrbeziehung \ln(e^x)=x nutzen
- 3x=\ln 30 (exakt)
- 4x\approx 3{,}401 (mit der ln-Taste)
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Bei f(x)=\ln x muss das Argument x positiv sein. Deshalb ist der Definitionsbereich ]0;\infty[. Der Wertebereich ist ganz \mathbb R, denn \ln x kann jeden reellen Wert annehmen. Der Graph hat folgende Eigenschaften: Er schneidet die x-Achse bei x=1, weil \ln(1)=0. Er ist streng steigend. Für x\to 0^+ fällt \ln x gegen -\infty; die Gerade x=0 ist eine vertikale Asymptote. Für x\to\infty wächst \ln x ebenfalls gegen \infty, allerdings immer langsamer.
Merke: Bei \ln(g(x)) gelten zwei verschiedene Bedingungen: definiert, wenn g(x)>0 ist, und Nullstelle, wenn g(x)=1 ist.
Beispiel: Untersuche f(x)=\ln(x-5).
- 1Definiert: x-5>0, also x>5
- 2D=\left]5;\infty\right[
- 3Nullstelle: x-5=1, also x=6
- 4x=6 liegt in D, die Nullstelle ist zulässig.
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Für positive Zahlen u und v sowie jede reelle Zahl r gelten: \ln(uv)=\ln u+\ln v \ln\left(\frac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v \ln(u^r)=r\ln u Die Gesetze verwandeln Multiplikation in Addition, Division in Subtraktion und einen Exponenten in einen Faktor. So vereinfachst du zum Beispiel \ln 12-\ln 3=\ln\left(\frac{12}{3}\right)=\ln 4 und 2\ln 3=\ln(3^2)=\ln 9. Steht die Unbekannte im Exponenten, logarithmierst du beide Seiten. Die Potenzregel holt sie dann als Faktor nach vorn. Beide Seiten müssen dafür positiv sein. Bei e^x=y mit y>0 geht es direkt: x=\ln y.
Merke: Für Summen und Differenzen im Argument gibt es kein entsprechendes Gesetz. Im Allgemeinen ist \ln(u+v)\ne\ln u+\ln v.
Beispiel: Löse 3^x=5.
- 1Logarithmieren: \ln(3^x)=\ln 5
- 2Potenzregel: x\ln 3=\ln 5
- 3Durch \ln 3 teilen: x=\frac{\ln 5}{\ln 3}\approx 1{,}465
- 4Plausibel: 3^1=3<5 und 3^2=9>5, also liegt x zwischen 1 und 2.
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Die natürliche Logarithmusfunktion ist in der Analysis besonders praktisch: \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad(x>0) Ist das Argument eine Funktion g(x), brauchst du die Kettenregel: \frac{d}{dx}\ln(g(x))=\frac{g'(x)}{g(x)} Diese Formel gilt überall dort, wo g(x)>0 ist. Eine Stammfunktion von \ln x ist \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C\quad(x>0) Du kannst das prüfen, indem du x\ln x-x ableitest: Mit der Produktregel entsteht \ln x+1-1=\ln x.
Beispiel: Leite f(x)=\ln(x^2+5) ab.
- 1Argument x^2+5>0 für jedes reelle x
- 2Innere Ableitung: 2x
- 3f'(x)=\frac{2x}{x^2+5}
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Alles auf einen Blick
Natürlicher Logarithmus (ln)
ln y ist der Exponent, mit dem e den Wert y ergibt
\ln(e^x)=x und e^{\ln y}=y
nur positive Argumente, Nullstelle bei Argument 1
Produkt zu Summe, Quotient zu Differenz, Potenz zu Faktor
logarithmieren, Exponent als Faktor nach vorn holen
innere Ableitung geteilt durch das Argument
Löse 3e^{4x}=24.
- 1Durch 3 teilen: e^{4x}=8
- 2\ln anwenden: 4x=\ln 8
- 3Durch 4 teilen: x=\frac{\ln 8}{4}
- 4x\approx 0{,}520
- 5Probe: 3e^{4\cdot 0{,}520}\approx 24
Fehler finden
Fehler in Zeile 2\ln(x+3) darf nicht in \ln x+\ln 3 zerlegt werden: Für Summen gibt es kein Gesetz. Richtig: Weil \ln umkehrbar ist, folgt x+3=5, also x=2.
Lückentext
Ein Produkt im Argument wird zu einer : \ln(uv)=\ln u+\ln v. Ein Quotient wird zu einer . Bei \ln(u^r) darf der Exponent als vor den Logarithmus.