Ableitungsregeln: Übersicht mit Übungen
Ableitungsregeln machen das Ableiten zur Routine. Du lernst Potenz-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel und wann du welche brauchst.
Kurz gesagt
Ableitungsregeln sind Rechenregeln, mit denen du die Ableitung direkt aus dem Funktionsterm bestimmst. Die wichtigsten sind die Potenzregel (x^n)' = n x^{n-1}, Faktor- und Summenregel sowie Produktregel (uv)' = u'v + uv', Quotienten- und Kettenregel. Welche du zuerst brauchst, zeigt die äußerste Rechenoperation.
Ableitungsregeln helfen dir, aus dem Aufbau einer Funktion ihre Steigungsfunktion zu berechnen, ohne jedes Mal einen Grenzwert zu bilden. Entscheidend ist zuerst die äußerste Rechenoperation: Sie zeigt dir, welche Regel du als Erstes brauchst. Hier lernst du die Grundregeln, die Regeln für Produkte, Quotienten und Verkettungen und wie du mehrere Regeln kombinierst.
Deine Lernziele
Die erste Ableitung f'(x) ist die Steigungsfunktion von f. Sie ordnet jedem x die momentane Steigung des Graphen zu: Bei f'(x) > 0 steigt der Graph, bei f'(x) < 0 fällt er, bei f'(x) = 0 ist die Tangente waagerecht. Für Konstanten und ganzrationale Funktionen reichen wenige Grundregeln. Du leitest jeden Summanden einzeln ab, ein konstanter Faktor bleibt stehen, und Vorzeichen gehören zu ihren Termen: Aus -x^2 wird -2x. Da f' wieder eine Funktion ist, kannst du sie noch einmal ableiten. So entsteht die zweite Ableitung f''. Sie beschreibt, wie sich die Steigung verändert.
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Konstantenregel | (C)' = 0 | (7)' = 0 |
| Potenzregel | (x^n)' = n x^{n-1} | (x^5)' = 5x^4 |
| Faktorregel | (a \cdot u(x))' = a \cdot u'(x) | (4x^3)' = 12x^2 |
| Summenregel | (u + v)' = u' + v' | (x^2 + x)' = 2x + 1 |
| Differenzregel | (u - v)' = u' - v' | (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x |
Beispiel: f(x) = 2x^3 - x^2 + x gliedweise ableiten
- 12x^3 wird zu 2 \cdot 3x^2 = 6x^2
- 2-x^2 wird zu -2x
- 3x = x^1 wird zu 1
- 4f'(x) = 6x^2 - 2x + 1
Beispiel: Zweite Ableitung von g(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5
- 1g'(x) = 12x^3 - 4x
- 2g''(x) = 36x^2 - 4
Teste dich
Schau zuerst auf die Struktur des Terms. Klammern helfen dir, Teilfunktionen zu erkennen. Steht außen eine Summe oder Differenz, leitest du jeden Summanden einzeln ab. Werden außen zwei von x abhängige Funktionen multipliziert, brauchst du die Produktregel. Steht außen ein Bruch, nimmst du die Quotientenregel oder formst den Bruch sinnvoll um. Steckt eine Funktion in einer anderen, wie bei (3x^2 + 4)^2, hilft die Kettenregel. Bei mehreren Strukturen arbeitest du von außen nach innen. Oft lohnt sich auch Vereinfachen: x^2(x + 3) kannst du ausmultiplizieren und ohne Produktregel ableiten.
| Aufbau außen | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Summe oder Differenz | Summenregel | x^3 + 5x |
| Produkt zweier Funktionen | Produktregel | (2x + 1)(x^2 + 4x) |
| Bruch | Quotientenregel | \frac{x^2 + 1}{x} |
| Funktion in einer Funktion | Kettenregel | (3x^2 + 4)^2 |
Merke: Die äußerste Rechenoperation bestimmt die erste Regel. In den Teilfunktionen können weitere Regeln nötig sein.
Teste dich
Für ein Produkt f(x) = u(x) \cdot v(x) gilt die Produktregel f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x). Jeder Faktor erscheint einmal abgeleitet und einmal unverändert, die beiden Produkte werden addiert. Falsch wäre u' \cdot v'. Für einen Quotienten f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} mit v(x) \ne 0 gilt die Quotientenregel f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}. Achte auf das Minus im Zähler und das Quadrat des ursprünglichen Nenners. Stellen, an denen der Nenner null wird, bleiben auch bei der Ableitung ausgeschlossen.
Beispiel: Produktregel: f(x) = (2x + 1)(x^2 + 4x)
- 1u = 2x + 1, u' = 2, v = x^2 + 4x, v' = 2x + 4
- 2f'(x) = 2(x^2 + 4x) + (2x + 1)(2x + 4)
- 3f'(x) = 2x^2 + 8x + 4x^2 + 10x + 4 = 6x^2 + 18x + 4
Beispiel: Quotientenregel: f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} mit x \ne 0
- 1u = x^2 + 1, u' = 2x, v = x, v' = 1
- 2f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2}
- 3f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}, weiterhin mit x \ne 0
Teste dich
Bei einer Verkettung steckt eine Funktion in einer anderen. Für f(x) = u(v(x)) gilt die Kettenregel f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x). In Worten: äußere Funktion ableiten, innere Funktion stehen lassen und mit der inneren Ableitung multiplizieren. Die innere Funktion ist der Ausdruck, der in die äußere eingesetzt wird. Auch bei \sin(3x^3) brauchst du die Kettenregel: Außen wird der Sinus zum Kosinus, innen wird 3x^3 zu 9x^2. Also gilt (\sin(3x^3))' = 9x^2 \cos(3x^3).
Verkettung
Eine Verkettung u(v(x)) entsteht, wenn du das Ergebnis einer inneren Funktion v in eine äußere Funktion u einsetzt. Bei (3x^2 + 4)^2 ist v(x) = 3x^2 + 4 die innere Funktion und das Quadrat die äußere.
Beispiel: f(x) = (3x^2 + 4)^2 ableiten
- 1Innere Funktion: v(x) = 3x^2 + 4 mit v'(x) = 6x
- 2Äußere Funktion: das Quadrat, seine Ableitung ist 2v
- 3f'(x) = 2(3x^2 + 4) \cdot 6x = 12x(3x^2 + 4)
Merke: Bei einer Verkettung darf die innere Ableitung nie fehlen: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ableitungsregeln
f' ist die Steigung, f'' ihre Änderung
Konstanten-, Potenz-, Faktor- und Summenregel
u'v + uv' bei Multiplikation
\frac{u'v - uv'}{v^2} bei Brüchen
äußere mal innere Ableitung
äußerste Operation zuerst erkennen
h(x) = (x^2 + 1)^3 (x - 2) ableiten
- 1Außen ein Produkt: u = (x^2 + 1)^3 und v = x - 2
- 2Kettenregel für u: u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2
- 3Ableitung von v: v' = 1
- 4Produktregel: h'(x) = 6x(x^2 + 1)^2 (x - 2) + (x^2 + 1)^3
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Die innere Ableitung 2x fehlt. Richtig ist f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2, an der Stelle 1 also 6 \cdot 1 \cdot 2^2 = 24.
Lückentext
Bei f(x) = 4x^3 - 2x + 7 wird aus 4x^3 der Term . Aus -2x wird . Die Konstante 7 hat die Ableitung .