Gleichschenkliges Dreieck: Winkel, Höhe und Fläche
Zwei gleich lange Schenkel, zwei gleiche Basiswinkel, eine Symmetrieachse. Du lernst, damit Winkel, Höhe, Umfang und Fläche zu berechnen.
Kurz gesagt
Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten, die Schenkel. Die Winkel an der dritten Seite, der Basis, sind gleich groß: \alpha = \beta = \frac{180^\circ - \gamma}{2}. Die Höhe zur Basis halbiert die Basis, deshalb gilt h_c = \sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4}} und A = \frac{c \cdot h_c}{2}.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten. Dadurch sind auch zwei Winkel gleich groß, und eine Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei passende rechtwinklige Dreiecke. Hier lernst du, seine Teile zu benennen sowie Winkel, Umfang, Höhe und Fläche zu berechnen.
Deine Lernziele
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Der Eckpunkt gegenüber der Basis ist die Spitze. Den gleich langen Schenkeln liegen zwei gleich große Winkel gegenüber. Sie liegen an der Basis und heißen Basiswinkel. Der Winkel an der Spitze heißt Spitzenwinkel.
Gleichschenkliges Dreieck
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten gleich lang sind. Sind alle drei Seiten gleich lang, ist es zugleich gleichseitig. Das gleichseitige Dreieck ist also ein Sonderfall des gleichschenkligen.
Beispiel: Ein Dreieck mit a = b = 5\,\mathrm{cm} und c = 6\,\mathrm{cm}
- 1a und b sind gleich lang, also sind sie die Schenkel.
- 2c ist die Basis.
- 3Die beiden Winkel an c sind die gleich großen Basiswinkel.
Teste dich
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°. Nenne die beiden gleichen Basiswinkel \alpha und \beta und den Spitzenwinkel \gamma. Dann gilt \alpha = \beta und 2\alpha + \gamma = 180^\circ. Kennst du den Spitzenwinkel, verteilst du den Rest gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel: \alpha = \beta = \frac{180^\circ - \gamma}{2} Kennst du einen Basiswinkel, rechnest du umgekehrt: \gamma = 180^\circ - 2\alpha.
Beispiel: Basiswinkel bei einem Spitzenwinkel von 40°
- 1180° − 40° = 140°
- 2140° : 2 = 70°
- 3Also \alpha = \beta = 70^\circ.
- 4Probe: 70° + 70° + 40° = 180°
Merke: Gleiche Schenkel liegen gleichen Winkeln gegenüber. Das gilt auch umgekehrt: Sind zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß, dann sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
Teste dich
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft durch die Spitze und die Mitte der Basis. Spiegelst du an ihr, fällt die linke Hälfte genau auf die rechte. Diese Achse ist zugleich die Höhe h_c zur Basis c: Sie steht senkrecht auf der Basis, halbiert sie und teilt das Dreieck in zwei kongruente, also deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke. In jedem Teildreieck ist der Schenkel a die Hypotenuse, die halbe Basis \frac{c}{2} und die Höhe h_c sind die Katheten. Mit dem Satz des Pythagoras folgt: h_c = \sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4}}
Beispiel: Höhe bei a = b = 5\,\mathrm{cm} und c = 6\,\mathrm{cm}
- 1Halbe Basis: 6 cm : 2 = 3 cm
- 2h_c^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16
- 3h_c = \sqrt{16} = 4, also h_c = 4\,\mathrm{cm}
- 4Plausibel: 3 cm, 4 cm und 5 cm bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Teste dich
Für den Umfang addierst du alle Seiten. Weil beide Schenkel die Länge a haben, gilt U = 2a + c. Für den Flächeninhalt nimmst du die Basis c und die zugehörige Höhe h_c: A = \frac{c \cdot h_c}{2}. Gehe bei jeder Aufgabe in dieser Reihenfolge vor: Markiere Schenkel und Basis. Schreibe die gegebenen Größen mit Einheiten auf. Wähle die passende Beziehung für Winkel, Umfang, Höhe oder Fläche. Setze ein und rechne. Prüfe zum Schluss Winkel, Einheit und ob das Ergebnis passt.
Beispiel: Umfang und Fläche bei a = b = 5\,\mathrm{cm}, c = 6\,\mathrm{cm} und h_c = 4\,\mathrm{cm}
- 1U = 2 · 5 cm + 6 cm = 16 cm
- 2A = 6 cm · 4 cm : 2 = 12 cm²
- 3Der Umfang ist eine Länge in cm, der Flächeninhalt eine Fläche in cm².
Merke: Beim Umfang addierst du Längen. Bei der Fläche multiplizierst du Grundseite und zugehörige Höhe und halbierst das Produkt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gleichschenkliges Dreieck
mindestens zwei gleich lange Seiten, die Schenkel
Schenkel, Basis, Spitze, Basiswinkel
Basiswinkel gleich groß, \alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2}
Die Höhe zur Basis halbiert die Basis
U = 2a + c, h_c = \sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4}}, A = \frac{c \cdot h_c}{2}
Ein Giebel ist gleichschenklig mit a = b = 10\,\mathrm{m} und c = 12\,\mathrm{m}. Berechne Höhe, Umfang und Fläche.
- 1Halbe Basis: 12 m : 2 = 6 m
- 2h_c^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64
- 3h_c = \sqrt{64} = 8, also h_c = 8\,\mathrm{m}
- 4U = 2 · 10 m + 12 m = 32 m
- 5A = 12 m · 8 m : 2 = 48 m²
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die 130° sind der Rest für beide Basiswinkel zusammen. Richtig ist 130° : 2 = 65°. Probe: 65° + 65° + 50° = 180°.
Lückentext
Die beiden gleich langen Seiten heißen . Die beiden Basiswinkel sind groß. Die Höhe zur Basis die Basis.