Wechselwinkel erkennen und berechnen
Du lernst, Wechselwinkel an der Z-Form zu erkennen, sie an Parallelen zu berechnen und mit ihnen Parallelität zu begründen.
Kurz gesagt
Wechselwinkel sind zwei Winkel, die an verschiedenen Schnittpunkten auf entgegengesetzten Seiten einer Schnittgeraden liegen, wie die Enden eines Z. An parallelen Geraden sind sie gleich groß: Ist einer 38°, ist es der andere auch. Umgekehrt zeigen gleich große Wechselwinkel, dass die Geraden parallel sind.
Wechselwinkel liegen an zwei verschiedenen Schnittpunkten auf entgegengesetzten Seiten einer Schnittgeraden. Sind die beiden geschnittenen Geraden parallel, sind die Wechselwinkel gleich groß. Auf dieser Seite lernst du, Wechselwinkel zu erkennen, ihre Größe zu berechnen und mit ihrer Umkehrung Parallelität zu begründen.
Deine Lernziele
Stell dir zwei Geraden vor, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Die dritte Gerade heißt Schnittgerade. Es entstehen zwei Schnittpunkte mit insgesamt acht Winkeln. Als Merkhilfe kannst du in der Figur nach einem normalen oder gespiegelten Z suchen. Die Winkel an den entgegengesetzten Enden des Z sind Wechselwinkel. Deshalb nennt man sie auch Z-Winkel. Die Z-Form hilft beim Finden. Sie beweist aber noch nicht, dass die Winkel gleich groß sind: Dafür müssen die geschnittenen Geraden parallel sein.
Wechselwinkel
Zwei Winkel heißen Wechselwinkel, wenn sie an verschiedenen Schnittpunkten liegen und sich sowohl bezüglich der Schnittgeraden als auch bezüglich der beiden geschnittenen Geraden auf unterschiedlichen Seiten befinden.
| Winkelpaar | Lage | Beziehung |
|---|---|---|
| Scheitelwinkel | selber Schnittpunkt, gegenüber | immer gleich groß |
| Nebenwinkel | selber Schnittpunkt, nebeneinander | zusammen 180° |
| Wechselwinkel | verschiedene Schnittpunkte, Z-Form | gleich groß an Parallelen |
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Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden g_1 \parallel g_2, dann gilt für ein Wechselwinkelpaar \alpha und \beta: \alpha=\beta Ohne Parallelität bleibt die Lagebezeichnung „Wechselwinkel“ bestehen, aber die beiden Winkel müssen nicht gleich groß sein. Eine ungenaue Zeichnung ist dabei kein Beweis: Verlass dich auf Angaben und Parallelmarkierungen, nicht auf das Aussehen.
Merke: Wechselwinkelsatz: Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, dann sind zusammengehörige Wechselwinkel gleich groß.
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Gehe in drei Schritten vor: Prüfe, ob parallele Geraden angegeben oder markiert sind. Suche zur bekannten Winkelgröße den Wechselwinkel in der Z-Form. Nutze bei Bedarf weitere Beziehungen: Scheitelwinkel sind gleich groß; Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Beispiel: Wechselwinkel und Nebenwinkel an g_1 \parallel g_2
- 1Gegeben: \alpha=38° oben, \beta ist sein Wechselwinkel unten
- 2Weil g_1 \parallel g_2: \beta=\alpha=38°
- 3\delta ist Nebenwinkel von \beta: \delta=180°-38°=142°
- 4Probe: 38°+142°=180°
Teste dich
Der Wechselwinkelsatz lässt sich umkehren: Sind zwei Wechselwinkel gleich groß, dann sind die beiden geschnittenen Geraden parallel. So begründest du Parallelität, ohne sie zu messen. Dafür muss die Gleichheit aber feststehen, durch Angaben oder eine Rechnung. Das Geodreieck kann eine Vermutung prüfen; eine Begründung stützt sich auf den passenden Winkelsatz. Verwechsle dabei nicht die Winkelpaare: Scheitelwinkel liegen am selben Schnittpunkt, Wechselwinkel an verschiedenen.
Merke: Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Sind zwei Wechselwinkel gleich groß, dann sind die geschnittenen Geraden parallel.
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Alles auf einen Blick
Wechselwinkel
verschiedene Schnittpunkte und entgegengesetzte Seiten
normales oder gespiegeltes Z
zusammengehörige Wechselwinkel sind gleich groß
gleiche Wechselwinkel zeigen Parallelität
Wechselwinkel übertragen, Nebenwinkel auf 180° ergänzen
Scheitelwinkel liegen am selben Schnittpunkt
Alle Winkel am unteren Schnittpunkt bestimmen
- 1Gegeben: g_1 \parallel g_2, \alpha=115° am oberen Schnittpunkt
- 2Wechselwinkel unten: \beta=\alpha=115°
- 3Nebenwinkel von \beta: \gamma=180°-115°=65°
- 4Scheitelwinkel von \beta und \gamma: wieder 115° und 65°
- 5Probe: 115°+65°+115°+65°=360°
Fehler finden
Fehler in Zeile 3180° ergeben nur Nebenwinkel. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: Richtig ist \beta=\alpha=62°.
Lückentext
Zwei Geraden werden von einer dritten Geraden geschnitten. Zu einem Winkel von 74° ist der Wechselwinkel groß. Sein Nebenwinkel misst .