Stufenwinkel und Wechselwinkel einfach erklärt
Stufen- und Wechselwinkel entstehen, wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet. Du lernst, sie zu erkennen, Winkel zu berechnen und Parallelität zu begründen.
Kurz gesagt
Stufenwinkel liegen an zwei Schnittpunkten in gleicher Lage, Wechselwinkel auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Sind die geschnittenen Geraden parallel, sind beide Winkelpaare gleich groß. Misst ein Winkel 68°, messen alle acht Winkel 68° oder 180° − 68° = 112°.
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, entstehen an zwei Schnittpunkten acht Winkel. Stufenwinkel haben an beiden Schnittpunkten die gleiche Lage. Wechselwinkel liegen auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Bei parallelen Geraden sind beide Winkelarten jeweils gleich groß. Auf dieser Seite lernst du, passende Winkelpaare zu erkennen, unbekannte Winkel zu berechnen und deine Schritte mit Winkelsätzen zu begründen.
Deine Lernziele
Stell dir zwei waagerechte Geraden vor, die von einer schrägen dritten Geraden geschnitten werden. Die schräge Gerade heißt Schnittgerade. An jedem der beiden Schnittpunkte entstehen vier Winkel. Liegt ein Winkel am oberen Schnittpunkt rechts oberhalb, dann ist der Winkel rechts oberhalb am unteren Schnittpunkt sein Stufenwinkel. Liegt ein Winkel am oberen Schnittpunkt unter der oberen Geraden und rechts von der Schnittgeraden, dann liegt sein innenliegender Wechselwinkel am unteren Schnittpunkt über der unteren Geraden und links von der Schnittgeraden. Ein hilfreiches Suchverfahren: Gehe zum anderen Schnittpunkt und suche dort zuerst den Stufenwinkel. Nimm anschließend den gegenüberliegenden Scheitelwinkel. Dieser Winkel ist der Wechselwinkel des Ausgangswinkels.
Stufenwinkel
Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage: zum Beispiel beide jeweils rechts oberhalb ihres Schnittpunkts. Du wechselst also zum anderen Schnittpunkt, behältst aber dieselbe Position bei.
Wechselwinkel
Wechselwinkel liegen an verschiedenen Schnittpunkten und auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Auch ihre Lage zu den beiden geschnittenen Geraden wechselt. Innenliegende Wechselwinkel bilden häufig die Form eines normalen oder gespiegelten Z.
Merke: Gleiche Position führt zum Stufenwinkel. Anderer Schnittpunkt und andere Seite führen zum Wechselwinkel.
Teste dich
Die Namen Stufenwinkel und Wechselwinkel beschreiben zunächst die Lage zweier Winkel. Für ihre Größe ist eine zusätzliche Bedingung entscheidend: Die beiden geschnittenen Geraden müssen parallel sein. Sind die Geraden nicht parallel, können die Winkel zwar dieselbe Lagebeziehung haben, müssen aber nicht gleich groß sein. An jedem einzelnen Schnittpunkt gelten außerdem zwei bekannte Regeln: Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß. Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergeben zusammen 180^\circ. Bei zwei geschnittenen Parallelen lassen sich alle acht Winkel damit bestimmen. Sie besitzen insgesamt nur zwei Größen: einen Winkelwert und seine Ergänzung zu 180^\circ.
Merke: Sind die geschnittenen Geraden parallel, dann gilt: Stufenwinkel sind gleich groß. Wechselwinkel sind gleich groß.
Beispiel: Alle acht Winkel aus 68° bestimmen
- 1Gegeben: ein Winkel von 68^\circ an zwei Parallelen
- 2Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel: je 68^\circ
- 3Jeder Nebenwinkel: 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ
- 4Alle acht Winkel messen 68^\circ oder 112^\circ.
Teste dich
Beim Rechnen genügt ein Ergebnis allein nicht. Notiere zu jedem Schritt den verwendeten Winkelsatz. Eine zuverlässige Argumentationskette nennt immer drei Dinge: die Lage des gesuchten Winkels, den passenden Winkelsatz und die daraus folgende Rechnung oder Gleichheit.
Beispiel: Wechselwinkel und Nebenwinkel zu 47°
- 1Gegeben: 47^\circ, die Geraden sind parallel.
- 2Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: 47^\circ
- 3Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ
- 4Probe: 47^\circ + 133^\circ = 180^\circ
Teste dich
Der Stufenwinkelsatz lässt sich umkehren. Damit kannst du Parallelität begründen, ohne dich auf den bloßen Eindruck einer Zeichnung zu verlassen. Für Wechselwinkel gilt dieselbe Umkehrung. Achte auf die Richtung der Aussage: Parallelität gegeben: Du darfst die Gleichheit der Stufenwinkel folgern. Gleich große Stufenwinkel gegeben: Du darfst die Parallelität der Geraden folgern. Verschieden große Stufenwinkel gegeben: Die Geraden sind nicht parallel, denn an Parallelen wären die Stufenwinkel gleich groß.
Merke: Sind Stufenwinkel gleich groß, dann sind die beiden geschnittenen Geraden parallel. Sind sie verschieden groß, sind die Geraden nicht parallel.
Beispiel: Stufenwinkel von 63° und 59°
- 1Die beiden Winkel sind Stufenwinkel.
- 2Sie messen 63^\circ und 59^\circ, sind also verschieden groß.
- 3An parallelen Geraden wären Stufenwinkel gleich groß.
- 4Also sind die beiden Geraden nicht parallel.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Stufenwinkel und Wechselwinkel
gleiche Lage an beiden Schnittpunkten
anderer Schnittpunkt, andere Seite der Schnittgeraden
Stufen- und Wechselwinkel sind gleich groß
liegen sich gegenüber und sind gleich groß
ergänzen sich zu 180°
gleich große Stufenwinkel zeigen Parallelität
Stufenwinkel und Nebenwinkel zu 55°
- 1Gegeben: \alpha = 55^\circ an zwei parallelen Geraden
- 2\beta ist Stufenwinkel zu \alpha, also \beta = 55^\circ.
- 3\gamma ist Nebenwinkel zu \beta: \gamma = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ
- 4Probe: 55^\circ + 125^\circ = 180^\circ
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Nebenwinkel sind nicht gleich groß, sie ergänzen sich zu 180°. Richtig ist \gamma = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ.
Lückentext
Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in Lage. An parallelen Geraden sind Wechselwinkel . Nebenwinkel ergänzen sich zu .