Scheitelwinkel und Nebenwinkel berechnen
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen Scheitel- und Nebenwinkel. Du lernst, sie zu erkennen und aus einem Winkel alle vier zu berechnen.
Kurz gesagt
Scheitelwinkel liegen sich an der Kreuzung zweier Geraden gegenüber und sind gleich groß. Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergeben zusammen 180^\circ. Misst ein Winkel 70^\circ, ist sein Scheitelwinkel also auch 70^\circ groß und sein Nebenwinkel 110^\circ.
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Gegenüberliegende Scheitelwinkel sind gleich groß. Benachbarte Nebenwinkel, die zusammen eine Gerade bilden, ergeben 180^\circ. Auf dieser Seite lernst du, beide Winkelpaare zu erkennen, fehlende Winkel zu berechnen und jeden Rechenschritt zu begründen.
Deine Lernziele
Stell dir die vier Winkel an einer Geradenkreuzung im Uhrzeigersinn als \alpha, \beta, \gamma und \delta vor. Dann liegen sich \alpha und \gamma sowie \beta und \delta gegenüber. Nebeneinander liegen die Paare (\alpha,\beta), (\beta,\gamma), (\gamma,\delta) und (\delta,\alpha).
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich an der Kreuzung gegenüber. Sie haben keinen gemeinsamen Schenkel und sind gleich groß. Es gilt: \alpha=\gamma \qquad \text{und} \qquad \beta=\delta
Nebenwinkel
Nebenwinkel liegen direkt nebeneinander und teilen einen Schenkel. Ihre beiden anderen Schenkel bilden gemeinsam eine Gerade. Deshalb beträgt ihre Summe 180^\circ. Zum Beispiel gilt: \alpha+\beta=180^\circ
Merke: Gegenüber bedeutet Scheitelwinkel: gleich groß. Nebeneinander an einer Geraden bedeutet Nebenwinkel: zusammen 180^\circ.
Teste dich
Gehe in drei Schritten vor: 1. Prüfe die Lage der beiden Winkel: gegenüber oder nebeneinander an einer Geraden? 2. Wähle den passenden Winkelsatz. 3. Rechne und kontrolliere das Ergebnis anhand der Lage. Bei Scheitelwinkeln ist keine Rechnung nötig: Liegt einem Winkel von 65^\circ der Winkel \gamma gegenüber, dann gilt sofort \gamma=65^\circ.
Beispiel: Nebenwinkel \beta zu 108^\circ
- 1Beide Winkel bilden zusammen eine Gerade: 108^\circ+\beta=180^\circ
- 2\beta=180^\circ-108^\circ=72^\circ
- 3Kontrolle: 108^\circ+72^\circ=180^\circ
Teste dich
Oft reicht ein einziges gegebenes Winkelmaß aus. Du berechnest zuerst einen benachbarten Winkel und überträgst anschließend die Maße auf die gegenüberliegenden Scheitelwinkel. Typische Fehler: Gleich groß gilt für gegenüberliegende Scheitelwinkel, nicht für benachbarte Winkel. Zwei benachbarte Winkel sind nur dann Nebenwinkel, wenn ihre anderen Schenkel eine Gerade bilden. Begründe deshalb zuerst die Beziehung und rechne danach. Die Lage entscheidet über den Rechenweg.
Beispiel: Alle vier Winkel aus \delta=25^\circ
- 1\alpha liegt neben \delta: \alpha+25^\circ=180^\circ, also \alpha=155^\circ
- 2\beta liegt \delta gegenüber: \beta=\delta=25^\circ
- 3\gamma liegt \alpha gegenüber: \gamma=\alpha=155^\circ
- 4Kontrolle: 155^\circ+25^\circ=180^\circ für jedes Nachbarpaar
Merke: Ein Winkel genügt: Nebenwinkel mit 180^\circ minus Winkel berechnen, dann beide Maße auf die gegenüberliegenden Winkel übertragen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Scheitelwinkel und Nebenwinkel
liegen sich gegenüber und sind gleich groß
liegen nebeneinander an einer Geraden, zusammen 180^\circ
erst die Lage prüfen, dann den Winkelsatz wählen
ein bekannter Winkel reicht für die anderen drei
alle vier Winkel ergeben zusammen 360^\circ
Alle Winkel an einer Kreuzung mit \alpha=41^\circ
- 1\beta liegt neben \alpha: \beta=180^\circ-41^\circ=139^\circ
- 2\gamma liegt \alpha gegenüber: \gamma=\alpha=41^\circ
- 3\delta liegt \beta gegenüber: \delta=\beta=139^\circ
- 4Kontrolle: 41^\circ+139^\circ+41^\circ+139^\circ=360^\circ, ein voller Winkel
Fehler finden
Fehler in Zeile 2\gamma ist der Scheitelwinkel von \alpha und deshalb gleich groß: \gamma=\alpha=70^\circ. Nur der Nebenwinkel \beta misst 110^\circ.
Lückentext
Scheitelwinkel liegen sich und sind gleich groß. Nebenwinkel ergeben zusammen . Misst ein Winkel 70^\circ, dann misst sein Nebenwinkel .