Mal und Geteilt im Kopf – zerlegen und sicher rechnen
Du lernst, Mal- und Geteiltaufgaben im Kopf zu zerlegen, Fachwörter in Rechnungen zu übersetzen und Rechengeschichten zu lösen.
Kurz gesagt
Bei einer Malaufgabe zerlegst du die große Zahl in Zehner und Einer: 6 \cdot 38 = 6 \cdot 30 + 6 \cdot 8 = 180 + 48 = 228. Beim Teilen zerlegst du die Zahl vor dem Geteiltzeichen in zwei gut teilbare Teile: 48 : 4 = 40 : 4 + 8 : 4 = 12. Danach addierst du die Teilergebnisse.
Stell dir vor, du sollst 6 \cdot 38 ohne Stift rechnen. Das wirkt schwer, weil 38 eine große Zahl ist. Mit einem Trick wird es leicht: Du teilst die Aufgabe in kleine Aufgaben auf, die du schon kannst. Hier lernst du das für Mal- und Geteiltaufgaben, für Aufträge mit Fachwörtern und für kleine Rechengeschichten.
Deine Lernziele
Das Zeichen \cdot heißt „mal“. Bei einer Aufgabe wie 6 \cdot 38 rechnest du eine einstellige Zahl mal eine zweistellige Zahl. Einstellig heißt: Die Zahl hat eine Ziffer, wie 6. Zweistellig heißt: Die Zahl hat zwei Ziffern, wie 38.
So gehst du vor: Zerlege 38 in Zehner und Einer, also in 30 und 8. Multipliziere beide Teile mit 6. Addiere dann die beiden Ergebnisse: 6 \cdot 38 = 6 \cdot 30 + 6 \cdot 8 = 180 + 48 = 228. Du rechnest alle Zehner und alle Einer mit. Deshalb ändert das Zerlegen das Ergebnis nicht.
Bei 6 \cdot 30 hilft dir das Einmaleins: 6 \cdot 3 = 18. 30 sind drei Zehner. Sechsmal drei Zehner sind 18 Zehner, also 180. Genauso geht es mit vollen Hundertern: 2 \cdot 200 sind zweimal zwei Hunderter, also vier Hunderter. Das sind 400. Und 5 \cdot 40 sind fünfmal vier Zehner, also 20 Zehner. Das sind 200.
Pass beim Addieren auf. Bei 180 + 48 ergeben 8 Zehner und 4 Zehner zusammen 12 Zehner. Daraus wird ein neuer Hunderter, und du erhältst 228. Du darfst Zwischenschritte aufschreiben, wenn dir das hilft. Im Test zählt nur das Ergebnis. Prüfe es mit einem Blick: 6 \cdot 38 liegt zwischen 6 \cdot 30 = 180 und 6 \cdot 40 = 240.
Zerlegen
Du teilst eine Zahl in Teile auf, die zusammen wieder die ganze Zahl ergeben. Zum Beispiel ist 47 = 40 + 7.
Beispiel: Zerlegen mit neuem Hunderter
- 1Aufgabe: 9 \cdot 26
- 2Zerlegen: 9 \cdot 26 = 9 \cdot 20 + 9 \cdot 6
- 3Teile rechnen: 9 \cdot 20 = 180 und 9 \cdot 6 = 54
- 4Addieren: 180 + 54 = 234
Merke: Multipliziere beide Teile mit derselben Zahl: die Zehner und die Einer. Die Einer darfst du nicht einfach dazuschreiben.
Teste dich
Das Zeichen : heißt „geteilt durch“. Bei 48 : 4 teilst du 48 in 4 gleich große Teile. Auch große Geteiltaufgaben kannst du in Schritten rechnen.
So gehst du vor: Zerlege die Zahl vor dem Geteiltzeichen in zwei Teile. Beide Teile müssen sich ohne Rest durch dieselbe Zahl teilen lassen. Ohne Rest heißt: Es bleibt nichts übrig. Teile beide Teile und addiere die Ergebnisse: 48 : 4 = 40 : 4 + 8 : 4 = 10 + 2 = 12. Die Zahl hinter dem Geteiltzeichen veränderst du nicht.
Die Teile müssen nicht immer Zehner und Einer sein. Bei 72 : 4 passen 70 und 2 nicht, denn 70 und 2 lassen sich nicht ohne Rest durch 4 teilen. Nimm lieber 40 und 32: 72 : 4 = 40 : 4 + 32 : 4 = 10 + 8 = 18. Achte darauf, dass beide Teile zusammen wieder 72 ergeben.
Bei Hunderterzahlen hilft dir der Stellenwert. 450 : 5 kannst du so rechnen: 400 : 5 + 50 : 5 = 80 + 10 = 90. Oder du denkst an 45 : 5 = 9. 450 sind 45 Zehner. 45 Zehner geteilt durch 5 sind 9 Zehner, also 90.
Prüfe dein Ergebnis mit der Umkehraufgabe: 90 \cdot 5 = 450. So merkst du im Test sofort, ob dein Ergebnis stimmt.
Umkehraufgabe
Die passende Malaufgabe, mit der du eine Geteiltaufgabe prüfst. Zu 35 : 7 = 5 gehört 5 \cdot 7 = 35.
Beispiel: Teilen in Schritten mit Kontrolle
- 1Aufgabe: 78 : 6
- 2Zerlegen: 78 = 60 + 18
- 3Teilen: 60 : 6 = 10 und 18 : 6 = 3
- 4Addieren: 10 + 3 = 13
- 5Kontrolle: 13 \cdot 6 = 78
Merke: Zerlege die Zahl vor dem Geteiltzeichen. Beide Teile müssen ohne Rest durch dieselbe Zahl teilbar sein. Vergiss keinen Teil.
Teste dich
Ein Fachwort ist ein besonderes Wort aus der Mathematik. Manche Aufgaben stehen nur in Worten da, zum Beispiel: „Dividiere 450 durch 5.“ Dann übersetzt du die Wörter in eine Rechnung. Dividieren heißt teilen. Also rechnest du 450 : 5 = 90.
Lies auch kurze Aufträge wie „Rechne aus. Achte auf die Rechenzeichen.“ genau. Verwechsle \cdot (mal), : (geteilt durch), + (plus) und - (minus) nicht. Die Tabelle zeigt dir zehn wichtige Fachwörter.
Achte auf die Reihenfolge. „Subtrahiere 30 von 240“ beginnt mit 240: 240 - 30 = 210. „Dividiere 420 durch 7“ beginnt mit 420. Und „Quotient von 63 und 7“ bedeutet 63 : 7.
Manche Aufträge haben zwei Schritte. „Addiere zu 170 das Doppelte von 200“ bedeutet: Zuerst rechnest du das Doppelte von 200, also 2 \cdot 200 = 400. Dann addierst du: 170 + 400 = 570. Die 170 wird nicht verdoppelt. Suche also zuerst das Zwischenergebnis, das im Auftrag genannt wird. Ein Zwischenergebnis ist ein Ergebnis, mit dem du weiterrechnest. Danach erledigst du den Rest. „Halbiere“ bedeutet: Berechne die Hälfte.
Im Test schreibst du dir das Zwischenergebnis am besten kurz auf, bevor du weiterrechnest.
| Fachwort | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| multiplizieren | malnehmen | Multipliziere 6 mit 13: 6 \cdot 13 = 78 |
| dividieren | teilen | Dividiere 420 durch 7: 420 : 7 = 60 |
| addieren | dazuzählen | Addiere 30 zu 240: 240 + 30 = 270 |
| subtrahieren | abziehen | Subtrahiere 30 von 240: 240 - 30 = 210 |
| Produkt | Ergebnis einer Malaufgabe | Produkt aus 4 und 23: 4 \cdot 23 = 92 |
| Quotient | Ergebnis einer Geteiltaufgabe | Quotient von 63 und 7: 63 : 7 = 9 |
| Summe | Ergebnis einer Plusaufgabe | Summe aus 210 und 40: 210 + 40 = 250 |
| Differenz | Ergebnis einer Minusaufgabe | Differenz von 210 und 40: 210 - 40 = 170 |
| das Doppelte | die Zahl mal 2 | Das Doppelte von 250: 2 \cdot 250 = 500 |
| die Hälfte | die Zahl geteilt durch 2 | Die Hälfte von 480: 480 : 2 = 240 |
Beispiel: Zwei Fachwörter in einem Auftrag
- 1Auftrag: „Subtrahiere vom Produkt aus 6 und 34 die Zahl 24.“
- 2Zuerst das Produkt: 6 \cdot 34 = 6 \cdot 30 + 6 \cdot 4 = 180 + 24 = 204
- 3Dann subtrahieren: 204 - 24 = 180
Merke: Bei einem Auftrag mit zwei Schritten rechnest du zuerst das genannte Zwischenergebnis aus, zum Beispiel das Doppelte oder das Produkt. Danach führst du den anderen Auftrag aus.
Teste dich
In Rechengeschichten steht oft das Wort „je“. Je heißt: In jeder Gruppe sind gleich viele. Beispiel: Du hast 3 Tüten mit je 4 Gummibärchen. Es gibt also 3 Gruppen, und in jeder Gruppe sind 4 Gummibärchen.
Frage dich zwei Dinge: Wie viele Gruppen gibt es? Wie viele Dinge sind in jeder Gruppe? In dieser Erklärung schreiben wir zuerst die Anzahl der Gruppen und danach die Menge in jeder Gruppe: 3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Eine solche Rechnung nennt man auch Rechenausdruck oder Term.
Du kannst dir die Gruppen auch anders vorstellen, zum Beispiel als 3 Reihen mit je 4 Punkten. Oder als Sprünge auf einer Zahlengeraden. Das ist eine Linie, auf der die Zahlen der Reihe nach stehen. Du startest bei 0 und machst 3 gleich große Sprünge um 4. Du landest bei 4, 8 und 12. Die Anzahl der Sprünge ist die Anzahl der Gruppen. Die Länge eines Sprungs ist die Menge in jeder Gruppe.
Pass auf: 3 + 4 = 7 zählt nicht alle Gummibärchen. Du musst die 4 dreimal nehmen. Achte auch auf die Menge je Gruppe: 3 \cdot 3 würde 3 Tüten mit je 3 Gummibärchen bedeuten.
Das klappt auch mit größeren Zahlen: 4 Packungen mit je 25 Karten. Dazu passt 4 \cdot 25 = 4 \cdot 20 + 4 \cdot 5 = 80 + 20 = 100. Die Geschichte „4 Karten und 25 weitere Karten“ passt nicht, denn das wären nur 29 Karten. Im Test passen oft mehrere Darstellungen: eine Malaufgabe, eine Plusaufgabe, Punkte oder Sprünge. Prüfe jede einzeln: Stimmen die Anzahl der Gruppen und die Menge in jeder Gruppe?
Beispiel: Murmeln in Schachteln
- 1Geschichte: 4 Schachteln mit je 5 Murmeln
- 2Gruppen: 4 Schachteln. In jeder Schachtel: 5 Murmeln
- 3Rechnung: 4 \cdot 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
- 4Als Punkte: 4 Reihen mit je 5 Punkten
- 5Als Sprünge: 4 Sprünge um 5 von 0 aus, mit den Landestellen 5, 10, 15 und 20
Merke: Je heißt: in jeder Gruppe gleich viele. Zähle die Gruppen und die Menge in jeder Gruppe. Addiere nicht einfach die Anzahl der Gruppen und die Menge je Gruppe.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mal und Geteilt im Kopf
Zerlege die zweistellige Zahl in Zehner und Einer, multipliziere beide Teile mit derselben Zahl und addiere.
Sechsmal drei Zehner sind 18 Zehner, also 180.
Zerlege die Zahl vor dem Geteiltzeichen in zwei Teile, die sich ohne Rest teilen lassen, und addiere die Ergebnisse.
Prüfe eine Geteiltaufgabe mit der passenden Malaufgabe.
Produkt, Quotient, Summe und Differenz sind Ergebnisse; bei zwei Schritten rechnest du zuerst das genannte Zwischenergebnis.
Je heißt gleich viele in jeder Gruppe; Anzahl der Gruppen mal Menge je Gruppe ergibt die Gesamtzahl.
Addiere zu 160 das Doppelte von 300
- 1Lies den Auftrag: „Addiere zu 160 das Doppelte von 300.“ Hier stecken zwei Schritte.
- 2Rechne zuerst das Doppelte: 2 \cdot 300 = 600, denn zweimal drei Hunderter sind sechs Hunderter.
- 3Addiere dann die 160: 160 + 600 = 760.
- 4Die 160 wird nicht verdoppelt. Das Ergebnis ist 760.
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Fehler in Zeile 3In der dritten Zeile wurde die 8 nicht mit 7 multipliziert, obwohl die Zeile davor 7 \cdot 8 verlangt. Richtig: 7 \cdot 28 = 140 + 56 = 196.
Lückentext
Bei der Malaufgabe 7 mal 34 multiplizierst du 30 und 4 jeweils mit 7 und danach die beiden Ergebnisse. Beim Teilen in Schritten zerlegst du . Das Ergebnis einer Malaufgabe heißt .