Polygon (Vieleck): Eigenschaften und Formeln
Dreieck, Viereck, Achteck: Alles Polygone. Du lernst, sie zu benennen und einzuordnen und Winkelsumme, Diagonalen, Umfang und Fläche zu berechnen.
Kurz gesagt
Ein Polygon (Vieleck) ist eine ebene, geschlossene Figur, deren Rand nur aus geraden Strecken besteht; ein n-Eck hat n Seiten und n Ecken. Es ist konvex, wenn alle Innenwinkel kleiner als 180° sind, sonst konkav. Die Innenwinkelsumme ist (n-2) \cdot 180^\circ, die Zahl der Diagonalen \frac{n(n-3)}{2}.
Ein Verkehrsschild, eine Bienenwabe, ein Fußballfeld: Überall stecken Figuren mit geraden Seiten. Solche Figuren heißen Polygone oder Vielecke. Dreiecke, Vierecke und Fünfecke gehören alle dazu. Hier lernst du, Polygone zu erkennen, zu benennen und einzuordnen. Außerdem berechnest du Winkel, Diagonalen, Umfang und Flächeninhalt.
Deine Lernziele
Stell dir vor, du zeichnest mehrere gerade Strecken hintereinander. Endet die letzte Strecke wieder am Anfangspunkt, entsteht ein geschlossener Streckenzug: ein Polygon. Eine geschlossene Figur mit gebogener Randlinie, etwa ein Kreis, ist kein Polygon. Auch ein offener Streckenzug ist keins, weil er nicht geschlossen ist. Polygone werden nach der Zahl ihrer Ecken benannt: Dreieck, Viereck, Fünfeck und so weiter, allgemein n-Eck.
Polygon
Ein Polygon ist eine ebene, geschlossene Figur, deren Rand nur aus geraden Strecken besteht. Die Strecken heißen Seiten, ihre Endpunkte Ecken. Ein Polygon hat mindestens drei Seiten und drei Ecken.
| Seiten und Ecken | Name |
|---|---|
| 3 | Dreieck |
| 4 | Viereck |
| 5 | Fünfeck |
| 6 | Sechseck |
| 7 | Siebeneck |
| 8 | Achteck |
| n | n-Eck |
Merke: Bei jedem Polygon gilt: Anzahl der Seiten = Anzahl der Ecken.
Teste dich
Zum Einordnen prüfst du Seitenlängen, Winkel und ob sich Seiten schneiden. Gleich lange Seiten allein machen ein Polygon noch nicht regelmäßig, gleich große Winkel allein auch nicht. Regelmäßige Polygone mit gleicher Seitenzahl können verschieden groß sein. Bei einem einfachen Polygon treffen sich die Seiten nur an den Ecken. Schneiden sich zwei Seiten zusätzlich, ist es überschlagen. Einfache Polygone sind entweder konvex oder konkav.
Regelmäßiges Polygon
Ein Polygon ist regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Fehlt eine der beiden Bedingungen, ist es unregelmäßig.
| Art | Merkmal |
|---|---|
| konvex | alle Innenwinkel kleiner als 180°, jede Diagonale liegt innen oder auf dem Rand |
| konkav | mindestens ein Innenwinkel größer als 180°, mindestens eine Diagonale liegt teilweise außen |
| überschlagen | zwei Seiten schneiden sich auch außerhalb der Ecken |
Beispiel: Ein Fünfeck mit einem Winkel von 220°
- 1Das Fünfeck ist einfach, keine Seiten schneiden sich.
- 2Ein Innenwinkel ist 220°, also größer als 180°.
- 3Ein einziger solcher Winkel genügt: Das Fünfeck ist konkav.
Teste dich
Bei einem konvexen n-Eck ziehst du von einer Ecke aus Diagonalen zu allen nicht benachbarten Ecken. So entstehen genau n - 2 Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme 180°. Deshalb gilt für jedes einfache n-Eck: S_n = (n-2) \cdot 180^\circ Bei einem regelmäßigen Polygon sind alle Innenwinkel gleich groß. Einen davon bekommst du, indem du die Winkelsumme durch n teilst: \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}. Der Außenwinkel ist \alpha' = \frac{360^\circ}{n}. Innen- und Außenwinkel ergeben zusammen 180°.
Beispiel: Innenwinkelsumme eines Fünfecks
- 1Zerlegung in 5 − 2 = 3 Dreiecke
- 2S_5 = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ
- 3Das gilt für regelmäßige und unregelmäßige einfache Fünfecke.
Beispiel: Winkel im regelmäßigen Achteck
- 1S_8 = (8-2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ
- 2Ein Innenwinkel: \alpha = 1080^\circ : 8 = 135^\circ
- 3Ein Außenwinkel: \alpha' = 360^\circ : 8 = 45^\circ
- 4Probe: 135° + 45° = 180°
Merke: Erst die ganze Innenwinkelsumme berechnen. Nur bei einem regelmäßigen Polygon darfst du sie durch n teilen, um einen einzelnen Innenwinkel zu bekommen.
Teste dich
Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Von jeder Ecke eines n-Ecks gehen n - 3 Diagonalen aus: Die Ecke selbst und ihre zwei Nachbarn scheiden aus. So zählst du zunächst n(n-3) Verbindungen. Jede Diagonale kommt dabei doppelt vor, von beiden Enden aus. Deshalb teilst du durch 2: d_n = \frac{n(n-3)}{2}. Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen. Beim regelmäßigen n-Eck mit Seitenlänge a gilt U = n \cdot a. Für den Flächeninhalt eines beliebigen Polygons gibt es keine einzelne Formel. Du zerlegst es in bekannte Figuren oder ergänzt es zu einer größeren Figur.
Beispiel: Diagonalen eines Siebenecks
- 1d_7 = \frac{7 \cdot (7-3)}{2}
- 2= \frac{28}{2} = 14
- 3Ein Siebeneck hat 14 Diagonalen.
Beispiel: Fläche durch Ergänzen
- 1Das Polygon ist ein Rechteck von 7 cm mal 5 cm, aus dem ein rechtwinkliges Dreieck (Grundseite 3 cm, Höhe 2 cm) fehlt.
- 2Rechteck: 7 cm · 5 cm = 35 cm²
- 3Dreieck: \frac{1}{2} \cdot 3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 3\,\mathrm{cm}^2
- 4Polygon: 35 cm² − 3 cm² = 32 cm²
Teste dich
Alles auf einen Blick
Polygon
eben, geschlossen, nur gerade Seiten
n Seiten und n Ecken ergeben ein n-Eck
konvex, konkav oder überschlagen; regelmäßig bei gleichen Seiten und Winkeln
n - 2 Dreiecke liefern die Innenwinkelsumme (n-2) \cdot 180^\circ
\frac{n(n-3)}{2}, weil jede doppelt gezählt wird
Umfang durch Addieren, Fläche durch Zerlegen oder Ergänzen
Ein regelmäßiges Zwölfeck mit a = 5 cm
- 1Innenwinkelsumme: S_{12} = (12-2) \cdot 180^\circ = 1800^\circ
- 2Ein Innenwinkel: \alpha = 1800^\circ : 12 = 150^\circ
- 3Ein Außenwinkel: \alpha' = 360^\circ : 12 = 30^\circ, Probe: 150° + 30° = 180°
- 4Diagonalen: d_{12} = \frac{12 \cdot (12-3)}{2} = \frac{108}{2} = 54
- 5Umfang: U = 12 · 5 cm = 60 cm
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Von einer Ecke aus entstehen nur n - 2 = 5 Dreiecke. Richtig ist S_7 = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ.
Lückentext
Ein Polygon hat genauso viele Ecken wie . Ein n-Eck lässt sich in Dreiecke zerlegen. Ein Polygon mit einem Innenwinkel über 180° ist .