Vielecke: Arten, Umfang, Winkel und Fläche
Vielecke sind ebene Figuren aus geraden Strecken. Du lernst, sie zu erkennen und zu benennen und Umfang, Winkelsumme und Fläche zu berechnen.
Kurz gesagt
Ein Vieleck (Polygon) ist eine ebene, geschlossene Figur, deren Rand aus mindestens drei geraden Strecken besteht. Es heißt nach seiner Eckenzahl, etwa Fünfeck. Seine Innenwinkelsumme ist S=(n-2)\cdot 180^\circ, der Umfang die Summe aller Seiten, beim regelmäßigen Vieleck U=n\cdot a.
Ein Vieleck, auch Polygon genannt, ist eine ebene, geschlossene Figur aus geraden Strecken. Du kannst Vielecke an ihren Begrenzungen erkennen, nach ihrer Eckenzahl benennen und ihren Umfang berechnen. Außerdem lernst du, Innenwinkelsummen zu bestimmen und zusammengesetzte Flächen zu zerlegen.
Deine Lernziele
Prüfe eine Figur mit vier Fragen: Ist sie geschlossen? Besteht ihr gesamter Rand aus geraden Strecken? Liegt sie in einer Ebene und hat sie mindestens drei Ecken? Kreuzen sich ihre nicht benachbarten Seiten nicht? Nur wenn alle Antworten ja lauten, handelt es sich um ein einfaches Vieleck, wie es auf dieser Seite verwendet wird.
Vieleck
Ein Vieleck ist eine ebene und geschlossene Figur, deren Rand vollständig aus geraden Strecken besteht. Es besitzt mindestens drei Ecken. Die Anzahl seiner Seiten entspricht immer der Anzahl seiner Ecken. In diesem Lernweg betrachten wir einfache Vielecke, deren nicht benachbarte Seiten sich nicht kreuzen.
Beispiel: Vieleck oder nicht?
- 1Dreieck: eben, geschlossen, drei gerade Strecken, also ein Vieleck
- 2Halbkreis: Ein Teil des Randes ist gekrümmt, also kein Vieleck
- 3Würfel: ein Körper und keine ebene Figur, also kein Vieleck
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Vielecke heißen nach der Anzahl ihrer Ecken und Seiten: 3 Ecken: Dreieck. 4 Ecken: Viereck. 5 Ecken: Fünfeck. 6 Ecken: Sechseck. 8 Ecken: Achteck oder Oktagon. Ein Stoppschild veranschaulicht die Form eines Achtecks. Ein Quadrat ist regelmäßig: Seine vier Seiten sind gleich lang und seine vier Innenwinkel gleich groß. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, ist dagegen unregelmäßig, weil nicht alle vier Seiten gleich lang sind.
Regelmäßiges Vieleck
Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Fehlt mindestens eine dieser beiden Eigenschaften, ist das Vieleck unregelmäßig.
Merke: „Regelmäßig“ bedeutet nicht bloß ordentlich gezeichnet. Sowohl die Seitenlängen als auch die Innenwinkel müssen jeweils übereinstimmen.
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Der Umfang ist die gesamte Länge des äußeren Randes. Du addierst dafür sämtliche Seitenlängen. Bei einem regelmäßigen Vieleck mit der Seitenzahl n und der gemeinsamen Seitenlänge a gilt: U=n\cdot a Bei einem unregelmäßigen Vieleck addierst du jede Seitenlänge einzeln. Für den Umfang brauchst du die Fläche nicht zu zerlegen. Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren eines einfachen Vielecks. Sie hängt von der Eckenzahl n ab, nicht davon, ob das Vieleck regelmäßig ist. Ein einfaches Vieleck mit n Ecken lässt sich in n-2 Dreiecke zerlegen. Da jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180^\circ besitzt, gilt: S=(n-2)\cdot 180^\circ
Beispiel: Umfang eines regelmäßigen Achtecks
- 1n=8 und a=3{,}5\,\mathrm{cm}
- 2U=8\cdot 3{,}5\,\mathrm{cm}=28\,\mathrm{cm}
- 3Der Rand des Achtecks ist insgesamt 28\,\mathrm{cm} lang.
Beispiel: Innenwinkelsumme eines Sechsecks
- 1n=6, also Zerlegung in 6-2=4 Dreiecke
- 2S=(6-2)\cdot 180^\circ=4\cdot 180^\circ=720^\circ
- 3Das gilt für regelmäßige und unregelmäßige Sechsecke.
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Für viele unregelmäßige oder zusammengesetzte Vielecke verwendest du eine Zerlegung: Teile das Vieleck ohne Lücken und Überlappungen in bekannte Figuren. Berechne den Flächeninhalt jeder Teilfigur. Addiere die Teilflächen. Prüfe, ob die Einheit eine Flächeneinheit wie \mathrm{cm^2} ist.
Beispiel: Fläche aus Dreieck und Rechteck
- 1Dreieck: Grundseite 6\,\mathrm{cm}, Höhe 3\,\mathrm{cm}
- 2A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot 6\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm}=9\,\mathrm{cm^2}
- 3Rechteck: 6\,\mathrm{cm} lang, 3\,\mathrm{cm} breit
- 4A_{\text{Rechteck}}=6\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^2}
- 5A_{\text{Vieleck}}=9\,\mathrm{cm^2}+18\,\mathrm{cm^2}=27\,\mathrm{cm^2}
Merke: Beim Umfang addierst du Randlängen. Beim Flächeninhalt addierst du Teilflächen. Verwechsle deshalb \mathrm{cm} und \mathrm{cm^2} nicht.
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Alles auf einen Blick
Vielecke
eben, geschlossen, gerade Seiten
Die Eckenzahl bestimmt den Namen
regelmäßig oder unregelmäßig
alle Seitenlängen addieren
(n-2)\cdot 180^\circ
in bekannte Teilfiguren zerlegen
Ein Haus-Fünfeck: Umfang, Fläche und Winkelsumme
- 1Das Fünfeck besteht aus einem Rechteck (6\,\mathrm{cm} breit, 4\,\mathrm{cm} hoch) und einem Dachdreieck mit Grundseite 6\,\mathrm{cm} und Höhe 4\,\mathrm{cm}. Die beiden Dachseiten sind je 5\,\mathrm{cm} lang.
- 2Umfang, nur der äußere Rand: U=6\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}
- 3A_{\text{Rechteck}}=6\,\mathrm{cm}\cdot 4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm^2}
- 4A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot 6\,\mathrm{cm}\cdot 4\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm^2}
- 5A=24\,\mathrm{cm^2}+12\,\mathrm{cm^2}=36\,\mathrm{cm^2}
- 6Innenwinkelsumme: S=(5-2)\cdot 180^\circ=3\cdot 180^\circ=540^\circ
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Fehler in Zeile 3Beim Dreieck fehlt der Faktor \frac12: A_{\text{Dreieck}}=\frac12\cdot 8\,\mathrm{cm}\cdot 5\,\mathrm{cm}=20\,\mathrm{cm^2}. Die Gesamtfläche ist 24\,\mathrm{cm^2}+20\,\mathrm{cm^2}=44\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Bei der Formel für die Innenwinkelsumme steht n für die . Für ein Fünfeck setzt du ein. Seine Innenwinkelsumme beträgt .