Quadrat: Eigenschaften, Formeln und Berechnungen
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Du lernst, Umfang und Fläche zu berechnen und seine Diagonalen und Symmetrien zu beschreiben.
Kurz gesagt
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Mit der Seitenlänge a gilt: Umfang U=4\cdot a und Flächeninhalt A=a\cdot a=a^2. Bei 5 cm Seitenlänge sind das 20 cm und 25 cm². Jedes Quadrat ist ein besonderes Rechteck.
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Aus diesen Eigenschaften kannst du seinen Umfang und seinen Flächeninhalt berechnen und seine Diagonalen und Symmetrieachsen beschreiben.
Deine Lernziele
Stell dir eine Bodenfliese vor. Gleich lange Seiten allein machen sie noch nicht zu einem Quadrat, vier rechte Winkel allein auch nicht. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Die vier Winkel ergeben zusammen 4\cdot 90^\circ=360^\circ. Gegenüberliegende Seiten sind parallel, benachbarte Seiten treffen sich im rechten Winkel. Ein Quadrat ist ein Viereck, weil es vier Seiten und vier Ecken hat. Es ist auch ein Rechteck, weil es vier rechte Winkel hat, und zwar ein besonderes, weil zusätzlich alle Seiten gleich lang sind. Ein Rechteck mit 6\,\text{cm} und 3\,\text{cm} Seitenlänge ist dagegen kein Quadrat.
Quadrat
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier Innenwinkeln von jeweils 90^\circ.
Merke: Ein Quadrat braucht immer vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Jedes Quadrat ist ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
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Die Seitenlänge eines Quadrats heißt meist a. Der Umfang U ist die Länge des ganzen Randes. Weil alle vier Seiten gleich lang sind, gilt: U=4\cdot a Der Flächeninhalt A gibt an, wie viel Fläche bedeckt ist. Beim Rechteck rechnest du Länge mal Breite, beim Quadrat sind beide gleich a: A=a\cdot a=a^2 Ein Umfang hat eine Längeneinheit wie cm oder m, ein Flächeninhalt eine Flächeneinheit wie cm² oder m².
Daher kommt auch das Wort Quadrieren: Ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge besteht aus 5 · 5 = 25 Kästchen von je 1 cm². Man schreibt 5² = 5 · 5 = 25 und sagt „5 zum Quadrat“. Die hochgestellte 2 heißt: Nimm die Zahl mit sich selbst mal. Ergebnisse wie 1, 4, 9, 16 und 25 heißen Quadratzahlen. Kennst du den Flächeninhalt, rechnest du rückwärts: Bei 81 cm² fragst du, welche Zahl mal sich selbst 81 ergibt. Wegen 9 · 9 = 81 ist die Seite 9 cm lang.
Beispiel: Ein quadratisches Beet hat die Seitenlänge 3 m.
- 1Umfang: U=4\cdot 3\,\text{m}=12\,\text{m}
- 2Fläche: A=3\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=9\,\text{m}^2
- 3Der Rand ist 12 m lang, das Beet bedeckt 9 m².
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Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Ein Quadrat hat zwei Diagonalen. Sie sind gleich lang, halbieren einander und schneiden sich im Mittelpunkt im rechten Winkel. Jede Diagonale ist länger als eine Seite. Außerdem halbieren sie die Innenwinkel: Aus 90° werden zwei Winkel von 45°. Jede Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke.
Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Mittellinien durch die Mitten gegenüberliegender Seiten. Es ist auch punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt: Drehst du es um eine halbe Drehung, sieht es genauso aus.
| Figur | Symmetrieachsen | punktsymmetrisch |
|---|---|---|
| Quadrat | 4 | ja |
| Rechteck (kein Quadrat) | 2 | ja |
| Raute (kein Quadrat) | 2 | ja |
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Die Länge der Diagonale kannst du jetzt schon messen: Zeichne das Quadrat genau und miss mit dem Lineal. Berechnen kannst du sie erst mit dem Satz des Pythagoras und der Quadratwurzel, die du in höheren Klassen lernst. Dann gilt d=a\cdot\sqrt{2}, bei 4 cm Seitenlänge also etwa 5,66 cm. Genauer erklärt das die Seite Satz des Pythagoras.
Beispiel: Diagonale messen und prüfen
- 1Zeichne ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge und miss eine Diagonale: etwa 5,7 cm.
- 2Die Diagonale ist länger als eine Seite: 5,7 cm ist mehr als 4 cm.
- 3Der Umweg über eine Ecke ist 4 cm + 4 cm = 8 cm lang, die Diagonale ist kürzer.
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Alles auf einen Blick
Quadrat
vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
besonderes Rechteck und Viereck
U=4\cdot a und A=a\cdot a=a^2
gleich lang, senkrecht, gegenseitig halbierend
vier Achsen und ein Symmetriezentrum
eine Zahl mal sich selbst, zum Beispiel 5² = 25
Ein quadratischer Spielplatz hat den Flächeninhalt 144 m². Wie lang ist der Zaun rundherum?
- 1Welche Zahl mal sich selbst ergibt 144? 12 · 12 = 144
- 2Also ist eine Seite 12 m lang.
- 3Zaun: U=4\cdot 12\,\text{m}=48\,\text{m}
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Fehler in Zeile 2Für die Fläche wurde wieder 4\cdot a gerechnet, das ist der Umfang. Richtig: A=a\cdot a=9\cdot9=81\,\text{cm}^2.
Lückentext
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier Winkel. Den Umfang berechnest du mit . Die Diagonale ist als eine Seite.