Prisma: Volumen und Oberfläche berechnen
Ein Prisma hat zwei deckungsgleiche, parallele Grundflächen. Du lernst, es zu erkennen und Volumen, Mantel und Oberfläche zu berechnen.
Kurz gesagt
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei deckungsgleichen, parallelen Vielecken als Grund- und Deckfläche. Sein Volumen ist V=G\cdot h, also Grundfläche mal senkrechte Höhe. Beim geraden Prisma gilt für den Mantel M=U\cdot h und für die Oberfläche O=2G+M.
Ein Prisma hat zwei deckungsgleiche, parallele Vielecke als Grund- und Deckfläche. Für sein Volumen gilt immer: Grundfläche mal senkrechte Prismenhöhe. Die einfache Mantelformel M=U\cdot h gilt dagegen nur für gerade Prismen.
Deine Lernziele
Stell dir vor, du verschiebst ein Vieleck gerade oder schräg im Raum. Das ursprüngliche Vieleck und seine verschobene Kopie bilden die beiden gegenüberliegenden Flächen des Prismas. Grund- und Deckfläche haben dieselbe Form und Größe. Die entsprechenden Eckpunkte sind durch gleich lange, parallele Seitenkanten verbunden. Die Grundfläche kann zum Beispiel ein Dreieck, Viereck oder Sechseck sein. Ein Quader und ein Würfel sind deshalb besondere Prismen. Bei einer n-eckigen Grundfläche hat das Prisma 2n Ecken, 3n Kanten und n+2 Flächen. Ein Dreiecksprisma hat daher 6 Ecken, 9 Kanten und 5 Flächen. Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf Grund- und Deckfläche. Seine Mantelflächen sind Rechtecke. Bei einem schiefen Prisma verlaufen die Seitenkanten schräg. Seine Mantelflächen sind im Allgemeinen Parallelogramme.
Prisma
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei deckungsgleichen und parallelen Vielecken. Diese heißen Grundfläche und Deckfläche. Die übrigen Seitenflächen bilden zusammen den Mantel.
Prismenhöhe
Die Prismenhöhe h ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Nur beim geraden Prisma ist sie zugleich die Länge einer Seitenkante.
Merke: Schräg bedeutet nicht „kein Prisma“. Prüfe zuerst Grund- und Deckfläche. Verwende bei einem schiefen Prisma für h niemals ungeprüft die schräge Seitenkante.
Teste dich
Zuerst erkennst du die Form der Grundfläche. Dann verwendest du die passende Flächenformel. Eine einzige Grundflächenformel für alle Prismen gibt es nicht. Für jedes gerade oder schiefe Prisma gilt: V=G\cdot h Dabei bezeichnet G den Flächeninhalt der Grundfläche und h die senkrechte Prismenhöhe.
Beispiel: Volumen eines Dreiecksprismas
- 1Gegeben: Dreieck mit g=6\,\mathrm{cm} und h_g=4\,\mathrm{cm}, Prismenhöhe h=12\,\mathrm{cm}
- 2G=\frac{1}{2}\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm^2}
- 3V=G\cdot h=12\,\mathrm{cm^2}\cdot12\,\mathrm{cm}=144\,\mathrm{cm^3}
- 4Die Dreieckshöhe brauchst du nur für G, die Prismenhöhe für V.
Merke: Fläche mal Länge ergibt Volumen: \mathrm{cm^2}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^3}.
Teste dich
Klappst du den Mantel eines geraden Prismas auf, entsteht ein Rechteck. Seine Seitenlängen sind der Umfang U der Grundfläche und die Prismenhöhe h. Für ein gerades Prisma gilt: M=U\cdot h Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantel: O=2G+M Bei einem schiefen Prisma bleibt V=G\cdot h gültig. Die Formel M=U\cdot h darfst du dort jedoch nicht verwenden, weil die Mantelflächen keine Rechtecke mit der Höhe h als Seitenlänge sein müssen. Prüfe am Ende drei Dinge: Passt die Flächenformel für G? Ist h wirklich der senkrechte Abstand der Grundflächen? Hat das Ergebnis eine Flächen- oder eine Kubikeinheit?
Beispiel: Oberfläche eines Dreiecksprismas
- 1Gegeben: Dreieck mit den Seiten 8 cm, 5 cm und 5 cm, Höhe zur 8-cm-Seite 3 cm, Prismenhöhe 10 cm
- 2G=\frac{1}{2}\cdot8\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm^2}
- 3U=8\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm}
- 4M=U\cdot h=18\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}=180\,\mathrm{cm^2}
- 5O=2G+M=2\cdot12\,\mathrm{cm^2}+180\,\mathrm{cm^2}=204\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Prisma
deckungsgleiche und parallele Grundflächen
gerade oder schiefe Seitenkanten
senkrechter Abstand der Grundflächen
V=G\cdot h
M=U\cdot h
O=2G+M
Ein rechtwinkliges Dreiecksprisma komplett berechnen
- 1Gegeben: Katheten 6 cm und 8 cm, dritte Seite 10 cm, Prismenhöhe 5 cm
- 2G=\frac{1}{2}\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm^2}
- 3V=G\cdot h=24\,\mathrm{cm^2}\cdot5\,\mathrm{cm}=120\,\mathrm{cm^3}
- 4U=6\,\mathrm{cm}+8\,\mathrm{cm}+10\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}
- 5M=U\cdot h=24\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=120\,\mathrm{cm^2}
- 6O=2G+M=2\cdot24\,\mathrm{cm^2}+120\,\mathrm{cm^2}=168\,\mathrm{cm^2}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Beim Dreieck fehlt das \frac{1}{2}: G=\frac{1}{2}\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm^2}. Damit ist V=10\,\mathrm{cm^2}\cdot9\,\mathrm{cm}=90\,\mathrm{cm^3}.
Lückentext
Für das Volumen eines Prismas berechnest du zuerst die . Danach multiplizierst du mit der . Das Ergebnis trägt eine .