Schnittmenge und Vereinigungsmenge einfach erklärt
Schnittmenge und Vereinigungsmenge verknüpfen zwei Mengen. Du lernst, beide zu bilden, Sonderfälle zu erkennen und sie auf Ereignisse anzuwenden.
Kurz gesagt
Die Schnittmenge A\cap B enthält alle Elemente, die in A und zugleich in B liegen. Die Vereinigungsmenge A\cup B enthält alle Elemente, die in A, in B oder in beiden liegen. Für A=\{1,2,4\} und B=\{2,3,4\} ist A\cap B=\{2,4\} und A\cup B=\{1,2,3,4\}.
Die Schnittmenge enthält nur die gemeinsamen Elemente zweier Mengen. Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen liegen. Das „oder“ ist dabei einschließend: Elemente aus beiden Mengen gehören ebenfalls dazu.
Deine Lernziele
Stell dir zwei Gruppen vor. Die Frage entscheidet, welche Mengenoperation du brauchst. Merke dir: \cap bedeutet mathematisch und, \cup bedeutet das einschließende oder.
| Formulierung | Operation | Bedeutung |
|---|---|---|
| „in beiden“, „und zugleich“ | Schnittmenge A\cap B | nur gemeinsame Elemente |
| „in A oder B oder in beiden“ | Vereinigungsmenge A\cup B | alle Elemente aus mindestens einer Menge |
Schnittmenge
A\cap B besteht aus allen Elementen, die zugleich zu A und zu B gehören.
Vereinigungsmenge
A\cup B besteht aus allen Elementen, die zu A, zu B oder zu beiden Mengen gehören.
Teste dich
Prüfe jedes Element mit zwei Fragen: Liegt es in A? Liegt es auch in B? Nur bei zweimal „ja“ kommt es in A\cap B. Haben zwei Mengen kein gemeinsames Element, heißen sie disjunkt. Dann ist ihre Schnittmenge die leere Menge \emptyset.
Beispiel: A\cap B für A=\{1,2,4,6\} und B=\{2,3,4,5\}
- 1Die Elemente 2 und 4 liegen in beiden Mengen.
- 2A\cap B=\{2,4\}
- 31 und 6 liegen nur in A, 3 und 5 nur in B: Sie gehören nicht dazu.
Teste dich
Bei der Vereinigung sammelst du alle Elemente aus beiden Mengen. Danach notierst du jedes Element genau einmal. Reihenfolge und Mehrfachnennung spielen bei Mengen keine Rolle. Die Schreibweisen \{1,2,3\} und \{3,2,1\} bezeichnen dieselbe Menge. Auch \{1,1,2,3\} enthält als Menge dieselben Elemente, weil Wiederholungen nicht gezählt werden.
Beispiel: A\cup B für A=\{1,2,4,6\} und B=\{2,3,4,5\}
- 1Schreibe alle Elemente aus A auf: 1, 2, 4, 6
- 2Ergänze die fehlenden aus B: 3 und 5
- 3Die gemeinsamen Elemente 2 und 4 notierst du nicht doppelt.
- 4A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}
Teste dich
Die Grundideen bleiben auch in besonderen Fällen gleich. Ist A eine Teilmenge von B, liegen alle Elemente aus A bereits in B. Daher gilt A\cup B=B. Für gleiche Mengen gilt A\cap A=A und A\cup A=A. Für die leere Menge gilt A\cup\emptyset=A und A\cap\emptyset=\emptyset. Bei disjunkten Mengen ist A\cap B=\emptyset; ihre Vereinigung enthält trotzdem alle Elemente aus beiden Mengen. Bei einem Zufallsversuch sind Ereignisse Mengen von Ergebnissen: „und“ führt zum Schnitt, „oder“ zur Vereinigung.
Beispiel: Zehn Kugeln mit den Nummern 0 bis 9
- 1Rot sind die Kugeln 0, 2, 3 und 8. Alle zehn sind gleich wahrscheinlich.
- 2E=\{0,1,2,3,4,5\}: Nummer höchstens 5
- 3F=\{0,2,3,8\}: rote Kugel
- 4Rot und höchstens 5: E\cap F=\{0,2,3\}, also P(E\cap F)=\frac{3}{10}
- 5Rot oder höchstens 5: E\cup F=\{0,1,2,3,4,5,8\}, also P(E\cup F)=\frac{7}{10}
Merke: Eine Wahrscheinlichkeit darfst du hier durch Abzählen bestimmen, weil ausdrücklich zehn gleich wahrscheinliche Ergebnisse vorliegen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Schnittmenge und Vereinigungsmenge
A\cap B enthält nur Elemente, die in beiden Mengen liegen
A\cup B enthält alle Elemente aus mindestens einer Menge, jedes einmal
„und“ bedeutet Schnitt, einschließendes „oder“ bedeutet Vereinigung
disjunkte Mengen haben den Schnitt \emptyset, aus A\subseteq B folgt A\cup B=B
erst die Ergebnismenge bilden, dann die Wahrscheinlichkeit bestimmen
Teiler von 16 und Teiler von 20
- 1T_{16}=\{1,2,4,8,16\} und T_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}
- 2Gemeinsam sind 1, 2 und 4: T_{16}\cap T_{20}=\{1,2,4\}
- 3Zu T_{16} kommen aus T_{20} noch 5, 10 und 20 hinzu.
- 4T_{16}\cup T_{20}=\{1,2,4,5,8,10,16,20\}
- 5Kontrolle der Anzahl: 5 + 6 − 3 = 8 Elemente
Fehler finden
Fehler in Zeile 4Das Oder wurde ausschließend gelesen. Auch die gemeinsamen Elemente gehören zur Vereinigung: A\cup B=\{2,4,5,6,8\}.
Lückentext
Bei der Schnittmenge muss ein Element in Mengen liegen. Bei der Vereinigungsmenge genügt die Zugehörigkeit zu Menge. Gemeinsame Elemente werden in der Vereinigung notiert.