Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine Zahl. Du lernst, es zu berechnen und damit Orthogonalität, Längen und Winkel zu bestimmen.
Kurz gesagt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten: \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Das Ergebnis ist eine Zahl. Ist sie 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Über \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi berechnest du den Winkel.
Das Skalarprodukt verbindet zwei gleichdimensionale Vektoren und liefert eine Zahl. Du multiplizierst Komponenten an derselben Position und addierst die Produkte. Mit dem Ergebnis kannst du Orthogonalität prüfen, Vektorlängen bestimmen und Winkel berechnen.
Deine Lernziele
Zwei Vektoren dürfen nur dann mit dem Skalarprodukt verknüpft werden, wenn sie gleich viele Komponenten haben. Das Ergebnis ist ein Skalar, also eine Zahl und kein neuer Vektor. Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Multipliziere die ersten Komponenten. Multipliziere die zweiten Komponenten und gegebenenfalls die dritten. Addiere alle Teilprodukte.
Skalarprodukt
Für \vec a=(a_1;a_2;a_3) und \vec b=(b_1;b_2;b_3) gilt: \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 In der Ebene entfallen einfach die dritten Komponenten.
Beispiel: Skalarprodukt von \vec a=(1;2;3) und \vec b=(0;3;4)
- 1\vec a\cdot\vec b=1\cdot0+2\cdot3+3\cdot4=0+6+12=18
- 2Das Ergebnis ist die Zahl 18, kein Vektor.
- 3Bei negativen Komponenten helfen Klammern gegen Vorzeichenfehler.
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Orthogonal bedeutet: Zwei Richtungen stehen senkrecht aufeinander. Das erkennst du am Skalarprodukt. Ein häufiger Fehler ist die Schlussfolgerung „Das Skalarprodukt ist negativ, also sind die Vektoren orthogonal“. Orthogonalität liegt ausschließlich beim Wert 0 vor. In einer Figur bildest du zuerst die Vektoren der beiden Seiten, die sich am zu prüfenden Eckpunkt treffen. Danach testest du ihr Skalarprodukt.
Merke: Für gleichdimensionale Vektoren gilt: \vec a\perp\vec b\quad\Longleftrightarrow\quad\vec a\cdot\vec b=0
Beispiel: Sind \vec a=(2;6) und \vec b=(3;-1) orthogonal?
- 1\vec a\cdot\vec b=2\cdot3+6\cdot(-1)=6-6=0
- 2Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
Beispiel: Ist das Dreieck mit A(0|0|0), B(2|1|3) und C(-1|2|0) bei A rechtwinklig?
- 1Seitenvektoren ab A: \overrightarrow{AB}=(2;1;3) und \overrightarrow{AC}=(-1;2;0)
- 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot(-1)+1\cdot2+3\cdot0=-2+2+0=0
- 3Die beiden Seiten sind orthogonal: Das Dreieck ist bei A rechtwinklig.
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Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist die Summe seiner quadrierten Komponenten. Daraus folgt die Länge: |\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a} Nur der Nullvektor hat die Länge 0.
Beispiel: Länge von \vec a=(-3;4)
- 1\vec a\cdot\vec a=(-3)\cdot(-3)+4\cdot4=9+16=25
- 2|\vec a|=\sqrt{25}=5
- 3Die Länge beträgt 5 Längeneinheiten und ist nie negativ.
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Für zwei Nichtnullvektoren und den eingeschlossenen Winkel \varphi gilt: \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi Nach dem Winkel umgestellt: \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\right) Der Winkel liegt zwischen 0^\circ und 180^\circ. Für den Nullvektor ist die Formel nicht anwendbar, weil dann im Nenner eine Länge 0 steht. Am Vorzeichen erkennst du die Winkelart schon vor der Rechnung: Ist \vec a\cdot\vec b>0, ist der Winkel spitz. Bei \vec a\cdot\vec b=0 ist er ein rechter Winkel, bei \vec a\cdot\vec b<0 ist er stumpf.
Beispiel: Winkel zwischen \vec a=(1;0) und \vec b=(1;1)
- 1\vec a\cdot\vec b=1, |\vec a|=1 und |\vec b|=\sqrt2
- 2\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=45^\circ
- 3Passt: Das Skalarprodukt ist positiv, der Winkel spitz.
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Alles auf einen Blick
Skalarprodukt
Komponenten paarweise multiplizieren und addieren, das Ergebnis ist eine Zahl
Skalarprodukt 0 heißt senkrecht
|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}
\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} für Nichtnullvektoren
positiv spitz, null recht, negativ stumpf
Seitenvektoren vom gemeinsamen Eckpunkt aus prüfen
Winkel zwischen \vec a=(1;2;2) und \vec b=(2;0;1)
- 1Skalarprodukt: \vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=4
- 2Längen: |\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3 und |\vec b|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5
- 3\cos\varphi=\frac{4}{3\sqrt5}\approx0{,}596
- 4\varphi\approx53{,}4^\circ
- 5Passt: Das Skalarprodukt ist positiv, der Winkel spitz.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2(-2)\cdot4 ergibt -8, nicht +8. Richtig: \vec u\cdot\vec v=6-8+2=0, die Vektoren sind also orthogonal.
Lückentext
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist . Zwei Nichtnullvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt ist. Die Länge eines Vektors ist die seines Skalarprodukts mit sich selbst.