Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du mit Skalarprodukt und Längen. Du lernst die Formel und erkennst spitze, rechte und stumpfe Winkel.
Kurz gesagt
Für zwei Nichtnullvektoren gilt \cos(\alpha)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}. Du berechnest das Skalarprodukt, teilst es durch das Produkt der Längen und wendest den Arkuskosinus an. Ist \vec a\cdot \vec b=0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, der Winkel beträgt 90^\circ.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du aus ihrem Skalarprodukt und ihren Längen. Für zwei Nichtnullvektoren liegt der berechnete Winkel zwischen 0^\circ und 180^\circ.
Deine Lernziele
Verschiebe die beiden Vektorpfeile gedanklich so, dass sie denselben Anfangspunkt haben. Gesucht ist der kleinere Winkel zwischen ihren Richtungen, dessen Größe im Bereich von 0^\circ bis 180^\circ liegt.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Du multiplizierst die jeweils gleich positionierten Komponenten und addierst die Produkte. Für \vec a=(a_1;a_2;a_3) und \vec b=(b_1;b_2;b_3) gilt: \vec a\cdot \vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
Vektorlänge
Die Länge oder der Betrag eines Vektors \vec a=(a_1;a_2;a_3) ist |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} Im zweidimensionalen Raum lässt du die dritte Komponente weg.
Merke: Der Winkel ist nur für zwei Nichtnullvektoren über die Winkelformel bestimmbar. Beim Nullvektor wäre eine Vektorlänge im Nenner gleich null.
Teste dich
Für zwei Nichtnullvektoren \vec a und \vec b gilt: \cos(\alpha)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} Daraus folgt: \alpha=\arccos\left(\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}\right) Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Berechne das Skalarprodukt \vec a\cdot \vec b. Berechne die Längen |\vec a| und |\vec b|. Setze die drei Ergebnisse in die Winkelformel ein. Berechne den Arkuskosinus und prüfe, ob dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist. Der Quotient in der Winkelformel liegt zwischen -1 und 1. Kleine Rundungsabweichungen entstehen, wenn du Zwischenwerte zu früh kürzt. Rechne deshalb möglichst lange mit exakten Wurzeln. Im Beispiel sind \vec a=(2;1;2) und \vec b=(4;-1;1) gegeben.
Beispiel: Winkel zwischen \vec a=(2;1;2) und \vec b=(4;-1;1)
- 1Skalarprodukt: \vec a\cdot \vec b=2\cdot4+1\cdot(-1)+2\cdot1=9
- 2Längen: |\vec a|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt9=3
- 3|\vec b|=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2
- 4Einsetzen: \cos(\alpha)=\frac{9}{3\cdot3\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}
- 5\alpha=\arccos\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=45^\circ, der Winkel ist spitz.
Merke: Prüfe das Ergebnis im Kontext: Ein positives Skalarprodukt passt hier zu einem spitzen Winkel.
Teste dich
Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät dir die Winkelart, ohne dass du den Winkel vollständig berechnen musst. Der Grund: Die Längen im Nenner sind positiv, also hat \cos(\alpha) dasselbe Vorzeichen wie \vec a\cdot \vec b. Beim Nullvektor ergibt das Skalarprodukt mit jedem Vektor ebenfalls null. Daraus darfst du aber keinen Winkel von 90^\circ folgern, weil die Winkelformel für den Nullvektor nicht definiert ist.
| Skalarprodukt | Winkel |
|---|---|
| \vec a\cdot \vec b>0 | spitz, kleiner als 90^\circ |
| \vec a\cdot \vec b=0 | recht, genau 90^\circ |
| \vec a\cdot \vec b<0 | stumpf, größer als 90^\circ |
Orthogonalität
Zwei Nichtnullvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Ihre Richtungen stehen dann senkrecht aufeinander.
Beispiel: Sind \vec c=(-1;1;3) und \vec d=(1;-2;1) orthogonal?
- 1\vec c\cdot \vec d=(-1)\cdot1+1\cdot(-2)+3\cdot1=0
- 2Beide Vektoren sind keine Nullvektoren.
- 3Also beträgt der Winkel 90^\circ: \vec c und \vec d sind orthogonal.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Winkel zwischen zwei Vektoren
zwei Nichtnullvektoren, gedanklich mit gemeinsamem Anfangspunkt
Skalarprodukt, beide Längen, dann der Arkuskosinus
positives Skalarprodukt spitz, null recht (orthogonal), negativ stumpf
Taschenrechner auf Grad, Zwischenwerte nicht zu früh runden
Winkel zwischen \vec u=(1;2) und \vec v=(2;1)
- 1\vec u\cdot \vec v=1\cdot2+2\cdot1=4
- 2|\vec u|=|\vec v|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5
- 3\cos(\alpha)=\frac{4}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=\frac45
- 4\alpha=\arccos\left(\frac45\right)\approx36{,}87^\circ
- 5Der Winkel ist spitz. Das passt zum positiven Skalarprodukt.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Im Nenner steht das Produkt der Längen, nicht ihre Summe: \cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12, also \alpha=60^\circ.
Lückentext
Bei zwei Nichtnullvektoren führt ein Skalarprodukt zu einem spitzen Winkel. Ist das Skalarprodukt , beträgt der Winkel 90^\circ. Ein Skalarprodukt kennzeichnet einen stumpfen Winkel.