Logarithmus berechnen
Wie bestimmst du den Logarithmus einer positiven Zahl zu einer Basis – also den Exponenten, mit dem du die Basis potenzieren musst?
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Rechenweg
So rechnest du selbst
\log_a x = y \iff a^y = x, \qquad \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}
- Frag dich: Mit welcher Hochzahl y wird aus der Basis das Argument? \log_2 32 = 5, weil 2^5 = 32.
- Geht das nicht im Kopf, nimm den Basiswechsel: \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} (mit \lg statt \ln klappt es genauso).
- Tipp beide Logarithmen in den Taschenrechner und teile: \log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx \frac{3{,}912}{1{,}0986} \approx 3{,}56.
- Mach die Probe: 3^{3{,}56} \approx 50.
Typische Fehler
- Logarithmen gekürzt: \frac{\ln 1000}{\ln 10} ist nicht \ln 100. Rechne beide aus und teile: \frac{6{,}9078}{2{,}3026} = 3.
- Zähler und Nenner vertauscht: Das Argument steht oben. \log_2 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3 – nicht \frac{\ln 2}{\ln 8} = \frac{1}{3}.
- Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl: \log_{10}(-100) gibt es nicht, denn 10^y ist immer positiv. Und \log_a 1 = 0 für jede Basis, weil a^0 = 1.