Was sind reelle Zahlen?
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Erklärung
Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Definition
- Der Grund, eine weitere Zahlenmenge einzuführen, ist, dass es auch Zahlen gibt, die eine unendlich lange, nicht-periodische Dezimaldarstellung haben und sich damit nicht als rationale Zahlen darstellen lassen, sondern sogenannte irrationale Zahlen sind. Bekannte Beispiele sind die Zahlen $2$ und $\pi$.
- Wir haben $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ mit
$\mathbb{Z}$ = Menge der ganzen Zahlen (Gruppe bzgl. +)
$\mathbb{Q}$ = Menge der rationalen Zahlen (Körper bzgl. + und $\cdot$)
eingeführt, um Gleichungen der Form $m + x = n$ bzw. $m \cdot y = n$ mit $m, n \in \mathbb{N}$ lösen zu köonnen.
Das reicht aber nicht, wenn man sich mit analytischen Problemen befassen will. - R ist vollständig, d.h. jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt.
Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Beispiel
-
Diagonale im Einheitskreis
Wie groß ist die Länge $d$ der Diagonalen im Einheitsquadrat?
Laut Pythagoras gilt $d^2 = 1 + 1 = \sqrt{2} $
-
Intervallschachtelung
Durch eine Intervallschachtelung kann man für jeden Punkt auf der Zahlengeraden den dazugehörenden Dezimalbruch konstruieren.
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