Quotientenregel: Brüche richtig ableiten
Mit der Quotientenregel leitest du Brüche aus zwei Funktionen ab. Du lernst die Formel, setzt sicher ein und erkennst, wann Umformen schneller ist.
Kurz gesagt
Die Quotientenregel sagt, wie du einen Bruch f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} mit v(x)\neq0 ableitest: f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. Merkhilfe: NAZ minus ZAN, also Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles durch den Nenner zum Quadrat.
Mit der Quotientenregel leitest du einen Bruch aus zwei Funktionen ab. Dabei ist die Reihenfolge im Zähler entscheidend: Zählerableitung mal Nenner minus Zähler mal Nennerableitung. Vorher lohnt sich immer die Frage, ob du den Bruch einfacher umformen kannst.
Deine Lernziele
Du siehst einen Bruch wie f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}. Dabei heißt u(x) Zählerfunktion und v(x) Nennerfunktion. Hängen beide von x ab und lässt sich der Term nicht sinnvoll vereinfachen, ist die Quotientenregel meist die passende Wahl. Der Nenner darf niemals null sein. Die Funktion und ihre Ableitung betrachtest du daher nur an Stellen mit v(x)\neq0.
Merke: Ein sichtbarer Bruch bedeutet nicht automatisch Quotientenregel. Prüfe zuerst: Kannst du kürzen, zerlegen oder eine konstante Zahl als Faktor vorziehen?
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Für f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} mit v(x)\neq0 gilt f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. Gehe in fünf Schritten vor: Bestimme u(x) und v(x). Berechne u'(x) und v'(x) getrennt. Setze zuerst u'(x)v(x) ein. Ziehe davon u(x)v'(x) ab und setze mehrgliedrige Terme in Klammern. Teile durch (v(x))^2 und vereinfache erst danach.
Merksatz NAZ minus ZAN
Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles durch den Nenner zum Quadrat. In der Formel steht gleichwertig u'v-uv'.
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Leite f(x)=\frac{x^2+3x}{x-2} ab. Wegen x-2\neq0 gehört x=2 nicht zum Definitionsbereich. Zuerst ordnest du zu und leitest einzeln ab. Dann setzt du mit Klammern ein. Erst ganz am Ende multiplizierst du den Zähler aus und fasst zusammen.
Beispiel: f(x)=\frac{x^2+3x}{x-2} ableiten
- 1u(x)=x^2+3x, u'(x)=2x+3
- 2v(x)=x-2, v'(x)=1
- 3f'(x)=\frac{(2x+3)(x-2)-(x^2+3x)\cdot1}{(x-2)^2}
- 4f'(x)=\frac{2x^2-x-6-x^2-3x}{(x-2)^2}
- 5f'(x)=\frac{x^2-4x-6}{(x-2)^2} für x\neq2
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Manche Brüche sehen komplizierter aus, als sie sind. Bei h(x)=\frac{1+x^2}{x^2} teilst du jeden Summanden durch x^2: h(x)=\frac{1}{x^2}+1=x^{-2}+1. Damit folgt ohne Quotientenregel h'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3} für x\neq0. Auch bei einem konstanten Nenner ist Umformen kürzer: p(x)=\frac{x^2+2x-1}{3}=\frac13(x^2+2x-1). Beim Umformen bleibt die ursprüngliche Definitionsbedingung wichtig. Wird ein Faktor gekürzt, darf eine vorher ausgeschlossene Nennernullstelle nicht nachträglich zugelassen werden.
| Kontrolle | Worauf du achtest |
|---|---|
| Reihenfolge | Zuerst u'v, dann minus uv' |
| Klammern | Mehrgliedrige Zähler und Nenner beim Einsetzen einklammern |
| Nenner | v(x) quadrieren, nicht v'(x) |
| Definition | Stellen mit v(x)=0 bleiben ausgeschlossen |
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Alles auf einen Blick
Quotientenregel
umformen oder direkt ableiten
u, v, u' und v' getrennt bestimmen
u'v-uv', mehrgliedrige Terme in Klammern
der ursprüngliche Nenner zum Quadrat, v^2
v\neq0, Minuszeichen, Vereinfachung
f(x)=\frac{2x+1}{x^2+1} ableiten
- 1u(x)=2x+1, u'(x)=2
- 2v(x)=x^2+1, v'(x)=2x
- 3f'(x)=\frac{2(x^2+1)-(2x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}
- 4f'(x)=\frac{2x^2+2-4x^2-2x}{(x^2+1)^2}
- 5f'(x)=\frac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}
- 6Wegen x^2+1>0 gilt das für alle x.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die Reihenfolge ist vertauscht: Zuerst kommt u'v. Richtig ist f'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+4)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{-5}{(x-1)^2}.
Lückentext
Im Zähler der Ableitung steht zuerst . Zwischen den beiden Produkten steht ein . Im Nenner steht .