Kettenregel: Verkettete Funktionen ableiten
Mit der Kettenregel leitest du verkettete Funktionen ab. Du lernst, innere und äußere Funktion zu finden und die Regel Schritt für Schritt anzuwenden.
Kurz gesagt
Die Kettenregel sagt, wie du eine verkettete Funktion f(x) = u(v(x)) ableitest: f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x). Du leitest die äußere Funktion ab, lässt die innere stehen und multiplizierst mit der inneren Ableitung. Beispiel: (\sin(4x + 3))' = 4\cos(4x + 3).
Mit der Kettenregel leitest du eine Funktion ab, die in einer anderen Funktion steckt. Für f(x)=u(v(x)) gilt: Leite die äußere Funktion ab, setze die innere Funktion wieder ein und multipliziere mit der inneren Ableitung. f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)
Deine Lernziele
Betrachte f(x)=(x^2+4)^3. Zuerst wird x^2+4 berechnet. Anschließend wird dieses Ergebnis hoch 3 genommen. Zwei Rechenschritte liegen ineinander. Für das Beispiel gilt: innen v(x)=x^2+4, außen u(v)=v^3. Zur Kontrolle ergibt u(v(x))=(x^2+4)^3 wieder die Ausgangsfunktion. Typische Hinweise auf eine Verkettung sind ein Klammerausdruck unter einer Potenz oder Wurzel sowie ein zusammengesetztes Argument bei Sinus, Kosinus, Exponentialfunktion oder Logarithmus. Eine Klammer allein entscheidet jedoch nicht, welche Regel du brauchst: Untersuche immer den Aufbau des ganzen Terms.
Verkettete Funktion
Eine verkettete Funktion entsteht, wenn das Ergebnis einer inneren Funktion v(x) als Eingabe einer äußeren Funktion u dient. Man schreibt f(x)=u(v(x)).
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Die Kettenregel funktioniert zuverlässig, wenn du außen beginnst und die innere Ableitung als zusätzlichen Faktor notierst. Die Potenz sinkt nur bei der äußeren Ableitung. Der innere Ausdruck bleibt dabei unverändert stehen.
Merke: Außen ableiten – innen stehen lassen – mal innere Ableitung. Die Faktoren darfst du vertauschen; entscheidend ist, dass beide vollständig vorhanden sind.
Beispiel: f(x)=(x^2+4)^3 ableiten
- 1Zerlege: v(x)=x^2+4 und u(v)=v^3.
- 2Leite innen ab: v'(x)=2x.
- 3Leite außen ab: u'(v)=3v^2.
- 4Setze zurück: u'(v(x))=3(x^2+4)^2.
- 5Mal innere Ableitung: f'(x)=3(x^2+4)^2\cdot 2x=6x(x^2+4)^2
Teste dich
Für eine differenzierbare innere Funktion v(x) kannst du die bekannten Grundableitungen direkt mit v'(x) verbinden. Diese Formeln gelten an den Stellen, an denen die beteiligten Funktionen definiert und differenzierbar sind.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| (v(x))^c | c(v(x))^{c-1}\cdot v'(x) |
| \sqrt{v(x)} | \frac{1}{2\sqrt{v(x)}}\cdot v'(x) |
| \sin(v(x)) | \cos(v(x))\cdot v'(x) |
| \cos(v(x)) | -\sin(v(x))\cdot v'(x) |
| e^{v(x)} | e^{v(x)}\cdot v'(x) |
| \ln(v(x)) | \frac{1}{v(x)}\cdot v'(x) |
Beispiel: Exponential- und Wurzelfunktion ableiten
- 1g(x)=e^{3x^2-1}: innen v'(x)=6x, außen bleibt e^v
- 2g'(x)=6x\,e^{3x^2-1}
- 3k(x)=\sqrt{x^2+3}: innen v'(x)=2x
- 4k'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}
Beispiel: f(x)=\ln(5x+3) ableiten
- 1Innen: v(x)=5x+3, also v'(x)=5
- 2Außen: (\ln v)'=\frac{1}{v}
- 3f'(x)=\frac{1}{5x+3}\cdot 5=\frac{5}{5x+3}
- 4Das gilt dort, wo der Logarithmus definiert ist.
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In k(x)=\cos(e^{x^2}) stecken drei Schichten: außen der Kosinus, darin die Exponentialfunktion und ganz innen x^2. Gehe von außen nach innen und sammle pro Schicht einen Ableitungsfaktor. Enthält der ganze Term zusätzlich ein Produkt, entscheidest du zuerst nach der äußersten Rechenstruktur. Bei einem Produkt brauchst du die Produktregel; verkettete Faktoren leitest du innerhalb dieser Regel mit der Kettenregel ab. Die Produktregel selbst ist ein eigenes Thema. Drei Fehler kommen besonders häufig vor: Innere Ableitung vergessen: Aus \sin(4x+3) wird fälschlich nur \cos(4x+3) statt 4\cos(4x+3). Innere Funktion nicht wieder eingesetzt: In der fertigen Ableitung bleibt eine Hilfsvariable wie v stehen. Äußere Ableitung falsch gebildet: Bei (v(x))^4 muss die neue Potenz 3 sein. Prüfe deine Rechnung mit drei Fragen: Entsteht durch Einsetzen wieder die Ausgangsfunktion? Ist jede Schicht abgeleitet? Ist die innere Ableitung als Faktor vorhanden?
Beispiel: k(x)=\cos(e^{x^2}) ableiten
- 1Außen: Aus \cos(\square) wird -\sin(\square).
- 2Mitte: Aus e^{x^2} wird der Faktor e^{x^2}.
- 3Innen: Aus x^2 wird der Faktor 2x.
- 4k'(x)=-\sin(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x
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Alles auf einen Blick
Kettenregel
innere und äußere Funktion
Zusammensetzen ergibt Ausgangsfunktion
außen ableiten und innen stehen lassen
mit innerer Ableitung multiplizieren
Faktor für jede Schicht
Einsetzen, Faktoren und Definitionsbereich prüfen
f(x)=(5x^2-3)^4 ableiten
- 1Innen: v(x)=5x^2-3, also v'(x)=10x
- 2Außen: u(v)=v^4, also u'(v)=4v^3
- 3Zurück einsetzen: u'(v(x))=4(5x^2-3)^3
- 4Mal innere Ableitung: f'(x)=4(5x^2-3)^3\cdot 10x=40x(5x^2-3)^3
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die innere Ableitung fehlt als Faktor. Richtig ist f'(x)=-\sin(3x^2)\cdot 6x=-6x\sin(3x^2).
Lückentext
Bei f(x)=\sin(x^4) ist x^4 die Funktion. Die äußere Ableitung ist der . Zusätzlich wird mit der inneren Ableitung multipliziert.