Faktorregel: Konstante Faktoren richtig ableiten
Die Faktorregel sagt, was beim Ableiten mit einer Zahl vor dem Term passiert. Du übst sie mit Potenz- und Summenregel und lernst typische Fehler kennen.
Kurz gesagt
Die Faktorregel besagt: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen. Für f(x) = a \cdot g(x) gilt f'(x) = a \cdot g'(x), zum Beispiel (3x^5)' = 3 \cdot 5x^4 = 15x^4. Nur ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg.
Die Faktorregel sagt: Multipliziert eine konstante Zahl eine Funktion, bleibt diese Zahl beim Ableiten unverändert. Für f(x) = a \cdot g(x) gilt also f'(x) = a \cdot g'(x). Hier lernst du, konstante Faktoren zu erkennen, die Faktorregel mit der Potenz- und Summenregel zu verbinden und typische Fehler zu vermeiden.
Deine Lernziele
Ein konstanter Faktor ist eine feste Zahl, die einen von x abhängigen Term multipliziert. Sie ändert sich nicht, wenn sich x ändert. Das kann eine ganze Zahl, ein Bruch, eine negative Zahl oder eine Zahl wie \sqrt{2} sein. In 3x^5 ist 3 konstant und x^5 der variable Teil. Ein Minus davor gehört zum Faktor: In -4x^3 ist der Faktor -4. Dagegen ist x in x \cdot x^2 kein konstanter Faktor, weil sein Wert von x abhängt.
Faktorregel
Ist a eine reelle Konstante und g ableitbar, dann gilt: f(x) = a \cdot g(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = a \cdot g'(x) Du leitest nur g(x) ab und schreibst a unverändert davor.
Teste dich
Gehe in drei Schritten vor. Bestimme zuerst den konstanten Faktor a und den variablen Teil g(x). Leite dann g(x) mit der passenden Regel ab. Multipliziere das Ergebnis zum Schluss mit dem unveränderten Faktor a und vereinfache. Für Potenzen brauchst du zusätzlich die Potenzregel: (x^n)' = n \cdot x^{n-1}
Beispiel: f(x) = \frac{3}{4}x^8 ableiten
- 1Konstanter Faktor: \frac{3}{4}, variabler Teil: x^8
- 2Potenzregel: (x^8)' = 8x^7
- 3f'(x) = \frac{3}{4} \cdot 8x^7 = 6x^7
- 4Der Faktor \frac{3}{4} ist nicht verschwunden, er wurde mit 8 zusammengefasst.
Merke: Faktor stehen lassen, variablen Teil ableiten, Zahlen zusammenfassen.
Teste dich
Bei einem Polynom trennst du die Funktion an Plus- und Minuszeichen. Mit der Summenregel leitest du jeden Summanden einzeln ab, die Rechenzeichen bleiben erhalten. Beim linearen Term gilt x' = 1, ein konstanter Summand hat die Ableitung 0. Die Faktorregel gilt nur für einen konstanten Faktor: In x \cdot g(x) hängt der erste Faktor selbst von x ab, dafür brauchst du die Produktregel.
Beispiel: p(x) = 6x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x ableiten
- 1Jeden Summanden getrennt ableiten, den Faktor stehen lassen
- 2p'(x) = 6 \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 2 \cdot 1
- 3p'(x) = 18x^2 - 5x + 2
- 4Das Minus vor dem zweiten Summanden bleibt erhalten.
| Typischer Fehler | Falsch | Richtig |
|---|---|---|
| Faktor mit abgeleitet | (3x^5)' = 0 \cdot 5x^4 = 0 | (3x^5)' = 15x^4 |
| Exponent nicht vermindert | (x^5)' = 5x^5 | (x^5)' = 5x^4 |
| Minus verloren | (-4x^3)' = 12x^2 | (-4x^3)' = -12x^2 |
| Konstanter Summand bleibt stehen | (x^2 + 7)' = 2x + 7 | (x^2 + 7)' = 2x |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Faktorregel
konstante Zahl vor einem variablen Term, samt Vorzeichen
Faktor behalten und nur den variablen Teil ableiten
Exponent vorziehen und um 1 vermindern
jeden Summanden einzeln behandeln
seine Ableitung ist 0
Vorzeichen, Exponenten und konstante Summanden
f(x) = -\frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - 3x + 8 ableiten
- 1Summanden: -\frac{1}{2}x^4, \frac{5}{3}x^3, -3x und 8
- 2-\frac{1}{2}x^4 wird zu -\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = -2x^3
- 3\frac{5}{3}x^3 wird zu \frac{5}{3} \cdot 3x^2 = 5x^2
- 4-3x wird zu -3, die Konstante 8 wird zu 0
- 5f'(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Faktor -6 ist verloren gegangen. Richtig ist (-6x^2)' = -6 \cdot 2x = -12x, also f'(x) = 24x^2 - 12x.
Lückentext
Für h(x) = 5x^4 bleibt der Faktor erhalten. Die Potenzregel liefert für x^4 die Ableitung . Daher ist die Ableitung h'(x) gleich .