Wurzeln ableiten: Potenzregel und Kettenregel
Wurzeln leitest du ab, indem du sie als Potenz schreibst. Du lernst Potenz- und Kettenregel für Wurzeln und wo die Ableitung gilt.
Kurz gesagt
Eine Wurzel leitest du ab, indem du sie als Potenz schreibst: \sqrt{x}=x^{\frac12}, also (\sqrt{x})'=\frac12x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}} für x>0. Steht ein Term unter der Wurzel, multiplizierst du mit der inneren Ableitung: \left(\sqrt{g(x)}\right)'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.
Eine Wurzel leitest du am sichersten ab, indem du sie als Potenz mit rationalem Exponenten schreibst. Dann verwendest du die Potenzregel; steht unter der Wurzel ein ganzer Funktionsterm, kommt die Kettenregel hinzu.
Deine Lernziele
Der entscheidende Schritt ist das Umschreiben. Für einen Ausdruck u gilt im reellen Definitionsbereich: \sqrt[n]{u}=u^{\frac{1}{n}} Für x>0 kannst du daher auch schreiben: \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}} Die Bedingung ist wichtig: Zum Beispiel gilt \sqrt{x^2}=|x| und nicht für alle reellen Zahlen einfach x. Der Bruch im Exponenten heißt rationaler Exponent. Bei einer Quadratwurzel ist n=2: \sqrt{x}=x^{\frac12} Danach gilt die Potenzregel: Du multiplizierst mit dem Exponenten und verringerst den Exponenten um 1.
Rationaler Exponent
Ein rationaler Exponent ist ein Bruch im Exponenten. Für x>0 gilt \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}: Der Exponent unter der Wurzel steht oben, der Wurzelgrad unten.
Beispiel: f(x)=\sqrt{x} ableiten
- 1Als Potenz schreiben: f(x)=x^{\frac12}
- 2Potenzregel: f'(x)=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}
- 3Negativer Exponent heißt Kehrwert: f'(x)=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
- 4Die Ableitungsformel gilt für x>0.
Merke: Erst Wurzel in Potenz umschreiben, dann den Exponenten nach der Potenzregel bearbeiten.
Teste dich
Bei f(x)=\sqrt{g(x)} ist g(x) die innere Funktion. Die Wurzel ist die äußere Funktion. Du leitest außen ab und multiplizierst mit der inneren Ableitung g'(x): f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} Diese Formel verwendest du an Stellen, an denen g(x)>0 ist.
Beispiel: f(x)=\sqrt{2x} ableiten
- 1Innere Funktion: g(x)=2x, also g'(x)=2
- 2f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}
- 3Der Faktor 2 aus der inneren Ableitung kürzt sich hier. Weglassen darfst du ihn aber nicht.
Beispiel: f(x)=\sqrt{x^4+1} ableiten
- 1Innere Funktion: g(x)=x^4+1, also g'(x)=4x^3
- 2f'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}
Teste dich
Für n\in\{2,3,4,\ldots\} schreibst du \sqrt[n]{x}=x^{\frac1n} und erhältst f'(x)=\frac1n x^{-\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} Bei geradem n ist die Wurzel im Reellen nur für x\ge 0 definiert; die angegebene Ableitungsformel gilt für x>0. Bei ungeradem n sind auch negative Werte von x erlaubt; die Formel gilt für x\ne 0. An x=0 ist sie wegen des Nenners nicht anwendbar. Für \sqrt{x} existiert dort keine endliche Ableitung. Für eine höhere Wurzel mit innerer Funktion verbindest du wieder Potenz- und Kettenregel: \left(g(x)^{\frac1n}\right)'=\frac1n g(x)^{\frac1n-1}\cdot g'(x) Bei geradem n verwendest du diese Formel für g(x)>0. Nullstellen des Wurzelinhalts musst du gesondert untersuchen.
Beispiel: f(x)=\sqrt[3]{x^2} ableiten
- 1Als Potenz: f(x)=x^{\frac23}
- 2f'(x)=\frac23x^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}
- 3Die 2 aus dem Zähler des Exponenten bleibt als Faktor erhalten.
- 4Das Ergebnis gilt für x\ne 0.
Teste dich
Die meisten Fehler passieren an drei Stellen: an der Klammer, am Exponenten und bei der inneren Ableitung. Der vollständige Wurzelinhalt wird zur Basis der Potenz, bei \sqrt{x^2+1} also (x^2+1)^{\frac12} und nicht x^2+1^{\frac12}. Ein negativer Exponent macht den Funktionswert nicht automatisch negativ. Er bedeutet einen Kehrwert: a^{-r}=\frac{1}{a^r}, sofern der Ausdruck definiert und a\ne 0 ist.
Merke: Prüfe jede Wurzelableitung dreimal: Klammer (der ganze Wurzelinhalt ist die Basis), Exponent (wirklich 1 abgezogen?) und innere Ableitung (steht g'(x) als Faktor da?).
Teste dich
Alles auf einen Blick
Wurzel ableiten
\sqrt[n]{u}=u^{\frac1n}, zum Beispiel \sqrt{x}=x^{\frac12}
Exponent als Faktor nach vorn, dann um 1 verringern: (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\left(\sqrt{g(x)}\right)'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}
bei geradem n für x>0, bei ungeradem für x\ne 0
Klammer, Exponent und innere Ableitung kontrollieren
Steigung von f(x)=\sqrt{x^2+9} an der Stelle x=4
- 1Innere Funktion: g(x)=x^2+9, also g'(x)=2x
- 2f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}
- 3f'(4)=\frac{4}{\sqrt{16+9}}=\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}=0{,}8
- 4Die Tangente an der Stelle x=4 hat die Steigung 0{,}8.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die innere Ableitung 3 fehlt. Richtig: f'(x)=\frac12(3x+1)^{-\frac12}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}.
Lückentext
Vor dem Ableiten schreibst du \sqrt{x} als . Bei der Potenzregel wird der Exponent um 1 . Bei \sqrt{g(x)} multiplizierst du zusätzlich mit der Ableitung.