Bruchgleichungen lösen: Anleitung mit Beispielen
Bei Bruchgleichungen steht die Variable im Nenner. Du lernst, verbotene Werte auszuschließen, die Brüche zu beseitigen und Scheinlösungen zu erkennen.
Kurz gesagt
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit der Variablen in mindestens einem Nenner, etwa \frac{3}{x} + 1 = \frac{9}{x}. Du schließt zuerst die Werte aus, bei denen ein Nenner null wird. Dann multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner, löst sie und prüfst jede Lösung.
Bei einer Bruchgleichung steht die Variable in mindestens einem Nenner. Das Knifflige daran: Manche Zahlen darfst du gar nicht einsetzen, weil sonst durch null geteilt wird. Deshalb schließt du zuerst die verbotenen Werte aus, beseitigst dann die Brüche und prüfst am Ende jeden Lösungskandidaten.
Deine Lernziele
Eine Gleichung ist eine Bruchgleichung, wenn die Variable im Nenner mindestens eines Bruchs vorkommt. Ein Beispiel ist \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x}. Ein Nenner darf nie null werden. Hier werden die Nenner bei x = 0 und bei x = -1 null. Diese beiden Werte sind verboten. Über den reellen Zahlen gilt deshalb D = \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, für die sämtliche Terme der Gleichung definiert sind. Du findest sie, indem du jeden Nenner gleich null setzt und diese Werte ausschließt.
Merke: Bestimme die Definitionsmenge, bevor du kürzt oder mit einem Nenner multiplizierst. Eine spätere Umformung macht einen verbotenen Wert nicht wieder erlaubt.
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Nach der Definitionsmenge suchst du einen Hauptnenner. Faktorisiere dazu alle Nenner und nimm jeden Faktor in der höchsten Potenz auf, in der er vorkommt. Für die Nenner x^2, x + 1 und x ist das x^2(x+1). Multipliziere dann die gesamte Gleichung, also jeden Term auf beiden Seiten, mit diesem Ausdruck. Die Nenner kürzen sich weg, und es bleibt eine bruchfreie Folgegleichung. Die löst du mit Äquivalenzumformungen. Oft ist sie eine lineare Gleichung, wie in den Beispielen hier.
Beispiel: \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x} lösen
- 1Definitionsmenge: D = \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}
- 2Hauptnenner: x^2(x+1)
- 3Mal Hauptnenner: 2(x+1) + x^2 = x(x+1)
- 4Klammern auflösen: 2x + 2 + x^2 = x^2 + x
- 5Zusammenfassen: x + 2 = 0
- 6Lösen: x = -2
- 7Prüfen: -2 ist weder 0 noch -1, also \mathbb{L} = \{-2\}
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1 | Nenner faktorisieren |
| 2 | Nullstellen der Nenner ausschließen (Definitionsmenge) |
| 3 | Hauptnenner bilden und die ganze Gleichung damit multiplizieren |
| 4 | Die bruchfreie Folgegleichung lösen |
| 5 | Jeden Kandidaten mit der Definitionsmenge abgleichen |
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Das Multiplizieren mit dem Hauptnenner kann Kandidaten liefern, die in der ursprünglichen Gleichung verboten sind. So ein Kandidat heißt Scheinlösung. Deshalb hörst du nach der Folgegleichung nicht auf, sondern gleichst jeden Kandidaten mit D ab. Ein zweiter Sonderfall: Werden nach dem Beseitigen der Brüche beide Seiten gleich, ist die Gleichung eine Identität. Dann ist jeder Wert aus der Definitionsmenge eine Lösung, also \mathbb{L} = D und nicht automatisch ganz \mathbb{R}.
Beispiel: Scheinlösung bei \frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}
- 1Verboten ist x = 1, also D = \mathbb{R} \setminus \{1\}
- 2Mal (x-1) ergibt die Folgegleichung x + 1 = 2
- 3Kandidat: x = 1
- 4Der Kandidat ist verboten, die Gleichung hat keine Lösung: \mathbb{L} = \varnothing
Merke: Ein Kandidat ist nur dann eine Lösung, wenn er die Folgegleichung erfüllt und in der Definitionsmenge liegt.
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Steht auf jeder Seite genau ein Bruch, kannst du über Kreuz multiplizieren. Aus \frac{a}{b} = \frac{c}{d} wird bei b \neq 0 und d \neq 0 die Gleichung a \cdot d = b \cdot c. Das ist kein neues Verfahren, sondern die Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner b \cdot d in Kurzform. Stehen auf einer Seite zwei Brüche oder ein Bruch plus eine Zahl, passt die Kurzform nicht. Dann nimmst du den Hauptnenner.
Beispiel: \frac{3}{2x+1} = \frac{2}{2-x} lösen
- 1Verboten: x = -\frac{1}{2} und x = 2
- 2Über Kreuz: 3(2-x) = 2(2x+1)
- 3Ausmultiplizieren: 6 - 3x = 4x + 2
- 4Lösen: x = \frac{4}{7}
- 5Prüfen: \frac{4}{7} ist erlaubt, also \mathbb{L} = \left\{\frac{4}{7}\right\}
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Alles auf einen Blick
Bruchgleichungen
Nullstellen der Nenner zuerst ausschließen
Nenner faktorisieren, die ganze Gleichung damit multiplizieren
bruchfrei vereinfachen und lösen
jeden Kandidaten mit der Definitionsmenge abgleichen
keine Lösung (Scheinlösung) oder die ganze Definitionsmenge (Identität)
nur bei genau einem Bruch auf jeder Seite
\frac{3}{x} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x} lösen
- 1Verboten: x = 0 und x = 2, also D = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\}
- 2Hauptnenner: x(x-2)
- 3Mal Hauptnenner: 3(x-2) - x = x - 2
- 4Ausmultiplizieren: 3x - 6 - x = x - 2
- 5Zusammenfassen: 2x - 6 = x - 2
- 6Lösen: x = 4
- 7Probe: \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, und 4 liegt in D, also \mathbb{L} = \{4\}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Die 2 wurde nicht mit x multipliziert. Jeder Term muss mal Hauptnenner: 6 + 2x = x + 10, also x = 4.
Lückentext
Zuerst bestimmst du die . Danach multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem . Zum Schluss prüfst du jeden Kandidaten auf .