Dezimalzahlen verstehen und sicher rechnen
Dezimalzahlen schreiben Anteile mit Komma. Du lernst Stellenwerte, Vergleichen und Runden, den Wechsel zum Bruch und die vier Grundrechenarten.
Kurz gesagt
Eine Dezimalzahl (Kommazahl) wie 12,345 hat Stellen vor und nach dem Komma. Die erste Stelle nach dem Komma zählt Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel: 12,345 = 12 + 310 + 4100 + 51000. Endnullen ändern den Wert nicht, 0,3 = 0,30.
Auf dem Kassenzettel steht 3,49 €, auf der Waage 0,75 kg, beim Weitsprung 4,12 m. Überall stecken Dezimalzahlen. Rechts vom Komma stehen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere Stellenwerte. Hier lernst du, Dezimalzahlen zu lesen, zu vergleichen und zu runden, sie in Brüche umzuwandeln und mit ihnen zu rechnen.
Deine Lernziele
Das Komma trennt den ganzzahligen Teil vom Nachkommateil. Links davon stehen Einer, Zehner und Hunderter. Rechts davon wird jede Stelle zehnmal kleiner: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel. Bei 12,345 steht die 1 für einen Zehner, die 2 für zwei Einer, die 3 für drei Zehntel, die 4 für vier Hundertstel und die 5 für fünf Tausendstel. Also gilt 12,345 = 12 + 310 + 4100 + 51000. Eine Dezimalzahl kann kleiner oder größer als 1 sein.
Dezimalzahl
Eine Dezimalzahl besteht aus Vorkommastellen, dem Komma und Nachkommastellen. Sie wird auch Kommazahl genannt.
| Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Beispiel: Was bedeutet 7,08?
- 1An der Zehntelstelle steht 0, an der Hundertstelstelle 8
- 27,08 = 7 + 8100
- 3Nicht 7 + 810, das wäre 7,8
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Beim Vergleichen liest du die Stellen von links nach rechts. Die erste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden, entscheidet. Endnullen rechts vom Komma verändern den Wert nicht, zum Beispiel 0,3 = 0,30. So bringst du beide Zahlen auf gleich viele Nachkommastellen. Beim Runden legst du fest, wie genau eine Zahl angegeben wird. Die Ziffer direkt rechts von der Rundungsstelle entscheidet: Bei 0, 1, 2, 3 oder 4 bleibt die Rundungsstelle gleich. Bei 5, 6, 7, 8 oder 9 wird sie um 1 erhöht. Geldbeträge gibst du meist mit zwei Nachkommastellen an, weil sie die Cent zählen.
Beispiel: 0,3 und 0,25 vergleichen
- 1Endnull ergänzen: 0,3 = 0,30
- 2Zehntel vergleichen: 3 Zehntel sind mehr als 2 Zehntel
- 3Also ist 0,3 größer als 0,25
Beispiel: 3,476 auf Hundertstel runden
- 1Hundertstelziffer: 7
- 2Rechts daneben steht 6, also mindestens 5
- 3Aufrunden: 3,476 ≈ 3,48
Merke: Mehr Nachkommastellen bedeuten nicht automatisch eine größere Zahl. Ergänze Endnullen und vergleiche Stelle für Stelle von links.
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Bei Plus und Minus schreibst du Komma unter Komma. Dann stehen Einer, Zehntel und Hundertstel jeweils in derselben Spalte. Fehlende Nachkommastellen füllst du mit Endnullen auf. Beim Malnehmen rechnest du zuerst ohne Kommas. Das Produkt bekommt so viele Nachkommastellen wie beide Faktoren zusammen, Endnullen darfst du danach weglassen. Beim Teilen verschiebst du das Komma im Divisor so weit nach rechts, bis er eine ganze Zahl ist. Im Dividenden verschiebst du es um genau gleich viele Stellen. Dadurch bleibt der Quotient gleich.
| Rechenart | So geht es | Beispiel |
|---|---|---|
| Plus | Komma unter Komma, Endnullen ergänzen | 12,40 + 3,75 = 16,15 |
| Minus | Komma unter Komma, Endnullen ergänzen | 8,20 − 1,67 = 6,53 |
| Mal | ohne Komma rechnen, Nachkommastellen beider Faktoren zählen | 8 · 2 = 16, also 0,08 · 0,2 = 0,016 |
| Geteilt | beide Kommas gleich weit nach rechts, bis der Divisor ganz ist | 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8 |
Beispiel: 0,7 : 0,25 über Brüche
- 10,7 = 710 und 0,25 = 14
- 2710 : 14 = 710 · 4
- 3710 · 4 = 2810 = 2,8
Merke: Bei der Multiplikation zählst du die Nachkommastellen beider Faktoren. Bei der Division verschiebst du die Kommas in Dividend und Divisor um dieselbe Anzahl von Stellen.
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Eine endliche Dezimalzahl schreibst du als Bruch mit einem Zehnernenner. Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt den Nenner: eine Stelle ergibt 10, zwei Stellen ergeben 100, drei Stellen ergeben 1000. Danach kürzt du, wie in der Bruchrechnung. Umgekehrt erweiterst du einen Bruch auf 10, 100 oder 1000, oder du teilst den Zähler durch den Nenner: 14 = 25100 = 0,25, und auch 1 : 4 = 0,25. Nicht jeder Bruch hat eine endliche Dezimaldarstellung. Teilst du 1 durch 3, bleibt bei jedem Schritt der Rest 1. Deshalb kommt immer wieder eine 3: 13 = 0,333… Die Dreien hören nie auf. Solche Zahlen heißen periodisch. Wie du sie in Brüche zurückverwandelst, zeigt die Seite Dezimalzahl in Bruch umwandeln.
Beispiel: 1,38 als Bruch schreiben
- 1Zwei Nachkommastellen: Nenner 100
- 21,38 = 138100
- 3Kürzen mit 2: 138100 = 6950
Periodische Dezimalzahl
Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholt sich ab einer bestimmten Stelle dieselbe Ziffer oder Ziffernfolge unendlich oft. Die wiederkehrende Folge heißt Periode und bekommt einen Strich: \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}.
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Alles auf einen Blick
Dezimalzahlen
Zehntel, Hundertstel, Tausendstel rechts vom Komma
Endnullen ergänzen, Stelle für Stelle von links
bei 5 bis 9 rechts daneben aufrunden
Komma unter Komma, Stellen zählen, Kommas gleich weit verschieben
die Nachkommastellen bestimmen den Zehnernenner
endlich oder periodisch
0,5; 0,45 und 0,405 der Größe nach ordnen
- 1Endnullen ergänzen: 0,500; 0,450; 0,405
- 2Zehntel vergleichen: 0,500 hat 5 Zehntel, die anderen nur 4
- 30,450 und 0,405: gleiche Zehntel, bei den Hundertstel ist 5 größer als 0
- 4Reihenfolge: 0,405 < 0,45 < 0,5
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Hier wurden die Nachkommastellen wie ganze Zahlen verglichen. Ergänze eine Endnull: 0,7 = 0,70. 70 Hundertstel sind mehr als 65 Hundertstel, also ist 0,7 größer als 0,65.
Lückentext
Die zweite Stelle nach dem Komma zählt die . Eine Endnull am Ende des Nachkommateils . Bei 0,08 · 0,2 hat das Produkt zunächst Nachkommastellen.