Dezimalzahl in Bruch umwandeln – einfach erklärt
Endlich oder periodisch? Du lernst, abbrechende und periodische Dezimalzahlen in vollständig gekürzte Brüche umzuwandeln und das Ergebnis zu prüfen.
Kurz gesagt
Eine endliche Dezimalzahl schreibst du als Bruch mit 10, 100 oder 1000 im Nenner, je nach Zahl der Nachkommastellen, und kürzt: 0,85 = 85100 = 1720. Bei einer rein periodischen Zahl kommt die Periode in den Zähler und je Periodenziffer eine 9 in den Nenner: 0{,}\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}.
0,25 € sind ein Viertel Euro, 0,5 Liter sind ein halber Liter. Jede Dezimalzahl, die endet oder sich regelmäßig wiederholt, lässt sich als Bruch schreiben. Zuerst bestimmst du den Zahlentyp. Danach bildest du den passenden Nenner und kürzt den Bruch.
Deine Lernziele
Die Nachkommastellen entscheiden über das Verfahren. Hört die Zahl nach einigen Stellen auf, ist sie endlich, zum Beispiel 0,85 oder 3,482. Wiederholt sich eine Ziffer oder Zifferngruppe ohne Ende, ist sie periodisch. Beginnt die Periode direkt hinter dem Komma, heißt die Zahl rein periodisch. Stehen davor noch andere Nachkommastellen, heißt sie gemischtperiodisch.
Periode
Die Ziffer oder Zifferngruppe, die sich unbegrenzt wiederholt, heißt Periode. Ein Strich über den Ziffern zeigt genau, welche sich wiederholen: 0,555… schreibst du 0{,}\overline{5}.
| Zahlentyp | Beispiele | Kennzeichen |
|---|---|---|
| endlich | 0,85 und 3,482 | endet nach endlich vielen Stellen |
| rein periodisch | 0{,}\overline{5} und 2{,}\overline{45} | Periode beginnt direkt hinter dem Komma |
| gemischtperiodisch | 3{,}1\overline{45} | vor der Periode stehen andere Ziffern |
Teste dich
Bei einer endlichen Dezimalzahl gehst du in drei Schritten vor. Entferne das Komma und schreibe die entstehende Zahl in den Zähler. Schreibe eine 1 mit so vielen Nullen in den Nenner, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat. Kürze dann Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler, bis nichts mehr geht. Wie das Kürzen genau funktioniert, zeigt die Bruchrechnung.
Beispiel: 0,85 umwandeln
- 1Zwei Nachkommastellen: Nenner 100
- 20,85 = 85100
- 3Kürzen mit 5: 85100 = 1720
Beispiel: 3,482 umwandeln
- 1Drei Nachkommastellen: Nenner 1000
- 23,482 = 34821000
- 3Kürzen mit 2: 34821000 = 1741500
Merke: Bei endlichen Dezimalzahlen bestimmt die Anzahl der Nachkommastellen die Anzahl der Nullen im Nenner.
Teste dich
Schreibe die Ziffern der Periode in den Zähler. Für jede Periodenziffer kommt eine 9 in den Nenner. Kürze anschließend. Eine ganze Zahl vor dem Komma addierst du danach. Woher kommen die Neunen? Teile 1 durch 9: Es bleibt immer der Rest 1, also ist 19 = 0,111… Dann ist 59 fünfmal so viel, nämlich 0,555… Genauso ergibt 1 : 99 = 0,010101…, und 3699 ist 36-mal so viel: 0,363636… Achtung: Die endliche Zahl 0,36 und die periodische Zahl 0{,}\overline{36} sind verschieden. Die endliche Zahl ergibt zunächst 36100, die periodische dagegen 3699.
Beispiel: 0{,}\overline{36} umwandeln
- 1Die Periode 36 hat zwei Ziffern: Nenner 99
- 2Die Periode kommt in den Zähler: 0{,}\overline{36} = \frac{36}{99}
- 3Kürzen mit 9: 3699 = 411
- 4Also ist 0{,}\overline{36} = \frac{4}{11}
Beispiel: 2{,}\overline{7} umwandeln
- 12{,}\overline{7} = 2 + 0{,}\overline{7}, und 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9}
- 22 + 79 = 189 + 79 = 259
- 3Also ist 2{,}\overline{7} = \frac{25}{9}
Merke: Eine Periodenziffer ergibt den Nenner 9, zwei Periodenziffern ergeben 99, drei ergeben 999. Der Überstrich zeigt genau, welche Ziffern sich wiederholen.
Teste dich
Vor der Periode steht hier ein nichtperiodischer Teil. Verschiebe deshalb das Komma zuerst so weit nach rechts, bis die Periode direkt hinter dem Komma beginnt: Für jede nichtperiodische Nachkommastelle multiplizierst du einmal mit 10. Wandle die nun rein periodische Zahl um. Teile danach durch dieselbe Zahl, also durch 10, 100 und so weiter, um die Verschiebung rückgängig zu machen, und kürze. Prüfe zum Schluss: Teilst du Zähler durch Nenner, muss wieder die Ausgangszahl herauskommen.
Beispiel: 3{,}1\overline{45} umwandeln
- 1Eine Stelle vor der Periode, also mal 10: 3{,}1\overline{45} \cdot 10 = 31{,}\overline{45}
- 2Die Periode ergibt 0{,}\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}
- 331 + \frac{5}{11} = \frac{346}{11}
- 4Durch 10 teilen: \frac{346}{11} : 10 = \frac{346}{110} = \frac{173}{55}
- 5Also ist 3{,}1\overline{45} = \frac{173}{55}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dezimalzahl in Bruch umwandeln
endlich, rein periodisch oder gemischtperiodisch
Nenner 10, 100, 1000 je nach Zahl der Stellen
für jede Periodenziffer eine 9 im Nenner
Komma vor die Periode schieben, am Ende zurückteilen
vollständig kürzen und durch Division prüfen
Wandle 0{,}4\overline{3} in einen Bruch um
- 1Eine Stelle vor der Periode: mit 10 multiplizieren
- 20{,}4\overline{3} \cdot 10 = 4{,}\overline{3}, jetzt ist die Zahl rein periodisch
- 3Die Periode ergibt 0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
- 44 + 13 = 133
- 5Durch 10 teilen: 133 : 10 = 1330
- 6Probe: 13 : 30 = 0{,}4\overline{3}, das passt
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Eine Periodenziffer ergibt eine 9 im Nenner, keine 10. Richtig ist 49. Der Bruch 25 = 0,4 gehört zur endlichen Zahl 0,4.
Lückentext
Bei einer endlichen Dezimalzahl stehen im Nenner passend viele . Bei einer rein periodischen Zahl stehen dort passend viele . Bei einer gemischtperiodischen Zahl wird zuerst der vor das Komma verschoben.