Periode bei Dezimalzahlen einfach erklärt
Eine Periode ist eine Zifferngruppe, die sich nach dem Komma endlos wiederholt. Du erkennst reine und gemischte Perioden und wandelst sie in Brüche um.
Kurz gesagt
Eine Periode ist die Ziffer oder Zifferngruppe, die sich nach dem Komma unendlich oft wiederholt. Der Periodenstrich steht genau über ihr: Bei 0{,}2\overline{7} ist 7 die Periode und 2 die Vorperiode. Bei 0{,}\overline{72} ist 72 die Periode mit der Länge 2, als Bruch \frac{72}{99}.
Rechne 1 : 11, und du erhältst 0,0909090… Die Zifferngruppe 09 hört nie auf. So eine sich endlos wiederholende Ziffer oder Zifferngruppe heißt Periode. Der Periodenstrich zeigt genau, welche Ziffern sich wiederholen. Hier lernst du, Perioden zu erkennen, zu unterscheiden und in Brüche umzuwandeln.
Deine Lernziele
Bei 0{,}636363\ldots wiederholt sich die Zifferngruppe 63 unendlich oft. Kurz schreibst du 0{,}\overline{63}. Der Strich steht nur über den Ziffern der Periode. Die Periodenlänge ist die Anzahl dieser Ziffern, bei 0{,}\overline{63} also 2. Beginnt die Periode direkt nach dem Komma, ist die Zahl reinperiodisch, zum Beispiel 0{,}\overline{72}. Stehen davor noch Ziffern, die sich nicht wiederholen, ist sie gemischtperiodisch, zum Beispiel 0{,}2\overline{7}, ausgeschrieben 0{,}2777\ldots Dort ist 2 die Vorperiode und 7 die Periode. 27 ist nicht die Periode, weil sich die 2 nicht wiederholt.
Vorperiode
Die Vorperiode besteht aus den nichtperiodischen Ziffern zwischen dem Komma und dem Beginn der Periode.
Merke: Frag dich: Welche Ziffern erscheinen immer wieder? Nur über diesen Ziffern steht der Periodenstrich.
Teste dich
Bei einer reinperiodischen Zahl zwischen 0 und 1 wird die Periode zum Zähler. Der Nenner hat so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat: eine Ziffer ergibt 9, zwei Ziffern ergeben 99, drei Ziffern 999. Warum das klappt: Multiplizierst du mit 100, verschiebt sich das Komma um genau eine Periode. Ziehst du die Ausgangszahl ab, fallen alle Nachkommastellen weg. Eine Null am Anfang der Periode zählt bei der Länge mit: 0{,}\overline{027}=\frac{27}{999}.
Beispiel: 0{,}\overline{72} als Bruch
- 1x=0{,}\overline{72}
- 2100x=72{,}\overline{72}
- 3100x-x=72
- 499x=72
- 5x=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}
| Periodenlänge | Nenner | Beispiel |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 0{,}\overline{1}=\frac{1}{9} |
| 2 | 99 | 0{,}\overline{72}=\frac{72}{99} |
| 3 | 999 | 0{,}\overline{027}=\frac{27}{999} |
Teste dich
Verschiebe zuerst das Komma so weit nach rechts, dass die Periode direkt dahinter beginnt. Hat die Vorperiode eine Ziffer, multiplizierst du mit 10, bei zwei Ziffern mit 100. Die neue Zahl zerlegst du in ihren ganzzahligen Teil und eine reine Periode und wandelst sie um. Zum Schluss machst du die Verschiebung rückgängig, indem du durch denselben Faktor teilst.
Beispiel: 0{,}7\overline{3} als Bruch
- 1Eine Vorperiodenziffer, also mal 10: 0{,}7\overline{3} \cdot 10=7{,}\overline{3}
- 27{,}\overline{3}=7+\frac{3}{9}=\frac{63}{9}+\frac{3}{9}=\frac{66}{9}
- 3Durch 10 teilen: \frac{66}{9}:10=\frac{66}{90}
- 4Kürzen: \frac{66}{90}=\frac{11}{15}
Merke: Hat die Vorperiode m Ziffern, verschiebst du das Komma mit dem Faktor 10^m. Am Ende teilst du durch denselben Faktor.
Teste dich
Nicht jede Dezimalzahl hat eine Periode. Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch schreiben und ist deshalb eine rationale Zahl. Eine unendlich lange Dezimalzahl ohne Periode ist irrational und lässt sich nicht als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben. Eine besondere Gleichheit ist 0{,}\overline{9}=1: Die unendlich vielen Neunen nähern sich nicht nur der 1, sie sind genau 1. Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Zahl.
| Art | Beispiel | Merkmal |
|---|---|---|
| endlich | 0,75 | endet nach zwei Nachkommastellen |
| unendlich periodisch | 0{,}\overline{3} | die 3 wiederholt sich ohne Ende |
| unendlich nichtperiodisch | 1{,}41421\ldots, also \sqrt{2} | keine Periode, irrational |
Beispiel: Warum 0{,}\overline{9}=1 gilt
- 1x=0{,}\overline{9}
- 210x=9{,}\overline{9}
- 310x-x=9
- 49x=9, also x=1
Teste dich
Alles auf einen Blick
Periode
Ziffern, die sich unendlich oft wiederholen
reinperiodisch oder gemischtperiodisch mit Vorperiode
Periode durch so viele Neunen, wie sie Ziffern hat
Komma verschieben, umwandeln, zurückteilen
periodische Dezimalzahlen sind rational
0{,}2\overline{18} als Bruch
- 1Vorperiode: 2, Periode: 18 mit Länge 2
- 2Mal 10: 0{,}2\overline{18} \cdot 10=2{,}\overline{18}
- 32{,}\overline{18}=2+\frac{18}{99}=\frac{198}{99}+\frac{18}{99}=\frac{216}{99}
- 4Durch 10: \frac{216}{99}:10=\frac{216}{990}=\frac{12}{55}
- 5Probe: 12 : 55 = 0{,}2\overline{18}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Nur die 8 ist die Periode, die 3 ist Vorperiode. Erst mal 10: 3{,}\overline{8}=3+\frac{8}{9}=\frac{35}{9}. Dann durch 10: \frac{35}{90}=\frac{7}{18}.
Lückentext
Bei 0{,}5\overline{3} ist die 5 die . Eine reine Periode mit zwei Ziffern führt zum Nenner . Jede periodische Dezimalzahl ist .