Bruch in Dezimalzahl umwandeln – einfach erklärt
Jeder Bruch ist eine Division. Du lernst, Brüche über Zehnernenner oder schriftlich zu teilen und endliche von periodischen Dezimalzahlen zu unterscheiden.
Kurz gesagt
Einen Bruch wandelst du in eine Dezimalzahl um, indem du den Zähler durch den Nenner teilst: 34 = 3 : 4 = 0,75. Schneller geht es, wenn du den Bruch auf den Nenner 10, 100 oder 1000 erweiterst oder kürzt, etwa 920 = 45100 = 0,45.
Drei Pizzen werden gerecht auf vier Leute verteilt. Jeder bekommt 34 Pizza, und das ist dasselbe wie 3 : 4. Ein Bruch ist also schon eine Division: Zähler durch Nenner. Deshalb kannst du jeden Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. Manchmal geht es blitzschnell über einen Zehnernenner, die Division klappt immer.
Deine Lernziele
Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“. 34 Pizza pro Person ist also dasselbe wie 3 : 4. Damit hast du zwei Wege zur Dezimalzahl. Der schnelle Weg: Du bringst den Bruch durch Kürzen oder Erweitern auf einen Nenner wie 10, 100 oder 1000. Der allgemeine Weg: Du teilst den Zähler durch den Nenner. Er funktioniert bei jedem Bruch.
Bruch als Quotient
Ein Bruch ist eine Division: \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \text{Zähler} : \text{Nenner}.
Merke: Schneller Weg: auf einen Zehnernenner kürzen oder erweitern. Allgemeiner Weg: Zähler durch Nenner dividieren.
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Bei einem Nenner 10, 100 oder 1000 zeigt die Zahl der Nullen, wie viele Stellen nach dem Komma stehen. Den Zähler trägst du von rechts ein und füllst freie Stellen mit Nullen auf. Liegt noch kein Zehnernenner vor, kannst du oft erweitern oder kürzen. Dabei veränderst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, und der Wert bleibt gleich.
Beispiel: 141000 umwandeln
- 11000 hat drei Nullen: drei Nachkommastellen
- 214 von rechts eintragen, die freie Stelle mit 0 füllen
- 3141000 = 0,014
Beispiel: Erweitern und Kürzen
- 1Erweitern mit 5: 920 = 45100 = 0,45
- 2Kürzen mit 8: 2480 = 310 = 0,3
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Der Divisionsweg ist das allgemeine Verfahren. Passt der Nenner nicht in den Zähler, beginnt das Ergebnis mit 0 und einem Komma. Dann hängst du eine Null an und teilst weiter. Das verändert den Wert nicht, denn 3 und 3,0 sind gleich viel. Sobald der Rest 0 ist, endet die Dezimalzahl.
Beispiel: 34 durch Division
- 13 : 4: Die 4 passt keinmal in die 3, also 0,…
- 2Null anhängen: 30 : 4 = 7 Rest 2
- 3Null anhängen: 20 : 4 = 5 Rest 0
- 4Rest 0, also fertig: 34 = 0,75
- 5Probe: 0,75 = 75100 = 34
Teste dich
Eine endliche Dezimalzahl hat nur endlich viele Nachkommastellen, zum Beispiel 0,45. Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholt sich eine Ziffer oder Zifferngruppe ohne Ende. Zum Entscheiden kürzt du den Bruch vollständig. Besteht der Nenner dann nur aus den Faktoren 2 und 5, lässt er sich auf 10, 100, 1000 … bringen, und die Dezimalzahl endet. Kommt ein anderer Primfaktor vor, wird sie periodisch. Achtung: 0,428571 ohne Strich ist nur eine Näherung, 37 ≈ 0,428571.
Periode
Die kürzeste Ziffernfolge, die sich immer wieder wiederholt, heißt Periode. Ein Strich über den Ziffern kennzeichnet sie: 53 = 1,666… schreibst du 1{,}\overline{6}.
| Bruch | gekürzter Nenner | Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 2480 = 310 | 10 = 2 · 5 | 0,3 (endlich) |
| 6125 | 125 = 5 · 5 · 5 | 0,048 (endlich) |
| 53 | 3 | 1{,}\overline{6} (periodisch) |
| 37 | 7 | 0{,}\overline{428571} (periodisch) |
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Alles auf einen Blick
Bruch in Dezimalzahl umwandeln
bedeutet Zähler geteilt durch Nenner
so viele Nachkommastellen, wie der Nenner Nullen hat
führen oft schnell auf 10, 100 oder 1000
funktioniert bei jedem Bruch, fertig bei Rest 0
gekürzter Nenner hat nur die Faktoren 2 und 5
wiederholte Reste ergeben eine Periode mit Strich
78 in eine Dezimalzahl umwandeln
- 1Nenner 8 = 2 · 2 · 2, nur Zweien: Die Dezimalzahl endet
- 27 : 8: Die 8 passt keinmal in die 7, also 0,…
- 370 : 8 = 8 Rest 6
- 460 : 8 = 7 Rest 4
- 540 : 8 = 5 Rest 0
- 678 = 0,875
- 7Probe: Erweitern mit 125 ergibt 8751000 = 0,875
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Nenner 1000 hat drei Nullen, also braucht das Ergebnis drei Nachkommastellen: 751000 = 0,075.
Lückentext
Ein Bruch wird vor der Entscheidung vollständig . Enthält sein Nenner danach nur die Faktoren , ist die Dezimalzahl .