Kreis: Begriffe, Umfang und Fläche berechnen
Ein Kreis hat Mittelpunkt, Radius und Durchmesser. Du lernst die Begriffe am Kreis und berechnest Umfang, Fläche und den Radius.
Kurz gesagt
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M denselben Abstand r haben, den Radius. Der Durchmesser ist d=2r. Den Umfang berechnest du mit U=2\pi r, den Flächeninhalt mit A=\pi r^2. Bei r=4\,\mathrm{cm} ist U\approx25{,}13\,\mathrm{cm}.
Ein Kreis wird durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius bestimmt: Jeder Punkt der Kreislinie hat vom Mittelpunkt genau denselben Abstand. Mit Radius oder Durchmesser kannst du außerdem Umfang und Flächeninhalt berechnen.
Deine Lernziele
Ein Kreis hat keine Ecken. Runde Gegenstände wie Teller, Münzen oder Reifen erinnern an Kreise. Mathematisch müssen wir jedoch zwischen dem Rand und der gefüllten Fläche unterscheiden. Beim Zeichnen mit dem Zirkel legt die Zirkelspitze den Mittelpunkt fest. Die eingestellte Öffnung ist der Radius. Während sich der Zirkel dreht, bleibt dieser Abstand gleich. Der Durchmesser verbindet zwei gegenüberliegende Punkte der Kreislinie und verläuft durch den Mittelpunkt. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d=2r Umgekehrt gilt: r=\frac{d}{2}
Kreislinie
Die Kreislinie besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M genau den gleichen Abstand r haben. Dieser Abstand heißt Radius.
Kreisfläche
Die Kreisfläche umfasst die Kreislinie und alle Punkte innerhalb der Kreislinie. Im Alltag kann das Wort „Kreis“ sowohl die Linie als auch die Fläche meinen. Achte deshalb auf den Zusammenhang.
Beispiel: Durchmesser bei r=4\,\mathrm{cm}
- 1d=2\cdot4\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm}
- 2Der Durchmesser verbindet nicht zwei beliebige Randpunkte: Er muss durch den Mittelpunkt verlaufen.
Teste dich
Vergleiche den Abstand eines Punktes P vom Mittelpunkt mit dem Radius. Die Aussage „P liegt nicht auf der Kreislinie“ reicht nicht zur genauen Einordnung: Der Punkt könnte innen oder außen liegen. Weitere Kreisteile erkennst du an ihren Begrenzungen: Eine Sehne verbindet zwei Punkte der Kreislinie. Der Durchmesser ist die längste Sehne und verläuft durch den Mittelpunkt. Ein Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie zwischen zwei Punkten. Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem Kreisbogen dazwischen begrenzt, er sieht wie ein Tortenstück aus. Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen begrenzt. Geraden benennst du danach, wie viele gemeinsame Punkte sie mit der Kreislinie haben.
| Abstand von P zu M | Lage von P |
|---|---|
| kleiner als r | im Kreisinneren |
| gleich r | auf der Kreislinie |
| größer als r | außerhalb des Kreises |
| Gerade | Gemeinsame Punkte mit der Kreislinie |
|---|---|
| Passante | keiner |
| Tangente | genau einer |
| Sekante | zwei |
| Zentrale | zwei, sie verläuft durch M |
Merke: Zähle zuerst die Schnittpunkte: null bedeutet Passante, einer Tangente und zwei Sekante. Erst danach prüfst du, ob eine Sekante durch den Mittelpunkt verläuft und damit eine Zentrale ist.
Teste dich
Die Kreiszahl \pi beschreibt bei jedem Kreis dasselbe Verhältnis von Umfang U zu Durchmesser d: \pi=\frac{U}{d} \pi besitzt unendlich viele, nicht periodisch wiederkehrende Dezimalstellen. Für Näherungen kannst du die \pi-Taste oder \pi\approx3{,}14 verwenden. Der Umfang ist die Länge der Kreislinie: U=\pi d=2\pi r Der Flächeninhalt misst die Größe der Kreisfläche: A=\pi r^2
Merke: Der Umfang erhält eine Längeneinheit wie \mathrm{cm}. Der Flächeninhalt erhält eine quadratische Einheit wie \mathrm{cm^2}.
Beispiel: Umfang und Fläche bei r=4\,\mathrm{cm}
- 1Umfang: U=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}=8\pi\,\mathrm{cm}\approx25{,}13\,\mathrm{cm}
- 2Fläche: A=\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2=16\pi\,\mathrm{cm}^2\approx50{,}27\,\mathrm{cm}^2
- 3Der Umfang ist eine Länge, die Fläche hat Quadratzentimeter.
Teste dich
Manchmal kennst du weder Radius noch Durchmesser. Dann stellst du die passende Formel nach r um. Aus dem Umfang folgt: r=\frac{U}{2\pi} Aus dem Flächeninhalt folgt: r=\sqrt{\frac{A}{\pi}} Beim Flächeninhalt brauchst du die Quadratwurzel, weil der Radius in der Ausgangsformel quadriert wird.
Beispiel: Radius eines Wegs mit U=24\,\mathrm{m}
- 1r=\frac{24\,\mathrm{m}}{2\pi}=\frac{12}{\pi}\,\mathrm{m}\approx3{,}82\,\mathrm{m}
- 2Probe: 2\pi\cdot3{,}82\,\mathrm{m}\approx24{,}00\,\mathrm{m}
- 3Die kleine Abweichung kommt vom Runden.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreis
Mittelpunkt und Radius bestimmen den Kreis
der Rand und alles innerhalb
d=2r
U=2\pi r=\pi d
A=\pi r^2
Passante, Tangente, Sekante oder Zentrale
Trampolin mit d=3\,\mathrm{m}: Umfang und Fläche
- 1Radius: r=\frac{3\,\mathrm{m}}{2}=1{,}5\,\mathrm{m}
- 2Umfang: U=\pi\cdot3\,\mathrm{m}\approx9{,}42\,\mathrm{m}
- 3Fläche: A=\pi\cdot(1{,}5\,\mathrm{m})^2=2{,}25\pi\,\mathrm{m}^2\approx7{,}07\,\mathrm{m}^2
- 4Das Trampolin braucht am Boden etwa 7{,}07\,\mathrm{m}^2 Platz, sein Rand ist etwa 9{,}42\,\mathrm{m} lang.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3In die Formel gehört der Radius, nicht der Durchmesser. Mit r=4\,\mathrm{cm} gilt A=\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2=16\pi\,\mathrm{cm}^2\approx50{,}27\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Eine Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt . Eine Verbindung zweier Punkte der Kreislinie heißt . Verläuft sie durch den Mittelpunkt, ist sie ein .