Rechenmuster entdecken und begründen

Ein Päckchen besteht aus mehreren Rechenaufgaben, die untereinanderstehen. In einem Päckchen mit Muster verändern sich die Zahlen nach einer gemeinsamen Regel. Diese Regel findest du, wenn du Zeile für Zeile von oben nach unten vergleichst.

So gehst du vor: Schau zuerst, ob es Plus- oder Minusaufgaben sind. Vergleiche dann die 1. Zahl von Zeile zu Zeile. Danach vergleichst du die 2. Zahl und zum Schluss das Ergebnis. Sage jedes Mal zwei Dinge: um wie viel sich die Zahl ändert und ob sie größer oder kleiner wird. Bleibt eine Zahl gleich, sagst du auch das. Prüfe die Regel bei jedem Übergang von einer Zeile zur nächsten, nicht nur beim ersten.

In der ersten Tabelle unten stehen Plusaufgaben. Die 1. Zahl wird jeweils um 10 größer. Die 2. Zahl bleibt gleich. Das Ergebnis wird jeweils um 10 größer. Erst jetzt setzt du das Päckchen fort. Die nächste Aufgabe heißt 290 + 23 = 313. Schreibe die ganze Aufgabe auf, nicht nur das Ergebnis. Dass das Ergebnis von 293 auf 303 über die 300 springt, ändert an der Regel nichts.

In der zweiten Tabelle stehen Minusaufgaben. Die 1. Zahl wird jeweils um 100 kleiner. Die 2. Zahl bleibt gleich. Das Ergebnis wird jeweils um 100 kleiner. Die nächste Aufgabe heißt 350 - 240 = 110. Achte beim Fortsetzen darauf, dass du die 2. Zahl nicht aus Versehen veränderst.

Manchmal passt eine Aufgabe nicht zum Muster. Man nennt sie auch „Störaufgabe“, weil sie das Muster stört. In der dritten Tabelle stehen wieder Plusaufgaben. Die Regel lautet: Die 1. Zahl wird jeweils um 10 größer, die 2. Zahl bleibt 26. Die Aufgabe 431 + 26 = 457 ist richtig gerechnet. Trotzdem passt sie nicht: Von 420 zu 431 sind es 11, von 431 zu 440 sind es 9. Beides ist nicht 10. An ihrer Stelle müsste 430 + 26 = 456 stehen. Ein richtiges Ergebnis allein reicht also nicht.

Beim Beschreiben sagst du, was sich verändert. Beim Begründen erklärst du, warum sich das Ergebnis so verändert. Dafür verbindest du die Änderung der 1. Zahl und die Änderung der 2. Zahl mit der Änderung des Ergebnisses.

Das Ergebnis einer Plusaufgabe heißt Summe. Wird eine Zahl um 10 größer und die andere bleibt gleich, dann wird auch die Summe um 10 größer. Wird eine Zahl kleiner, wird die Summe um genauso viel kleiner. Ändern sich beide Zahlen, musst du beide Änderungen beachten.

In der ersten Tabelle unten stehen Plusaufgaben. Die 1. Zahl wird jeweils um 111 größer. Die 2. Zahl wird jeweils um 11 kleiner. Von den 111 mehr fallen 11 wieder weg. Es bleiben 100 mehr übrig, denn 111 - 11 = 100. Deshalb wird das Ergebnis jeweils um 100 größer. Die nächste Aufgabe heißt 546 + 14 = 560.

So schreibst du eine Begründung: Nenne zuerst die Änderung der 1. Zahl, dann die Änderung der 2. Zahl. Sage dann, was davon übrig bleibt. Schließe mit „Deshalb wird das Ergebnis …“.

Vorsicht: In diesem Päckchen enden alle Ergebnisse auf 60. Das stimmt, ist aber nur eine Beobachtung. Es erklärt nicht, warum das Ergebnis um 100 größer wird. Eine Begründung verbindet die Änderungen der beiden Zahlen mit der Änderung des Ergebnisses.

Gegensinnig heißt: Eine Zahl wird größer, die andere wird kleiner. In der zweiten Tabelle stehen wieder Plusaufgaben. Die 1. Zahl wird jeweils um 10 größer, die 2. Zahl jeweils um 10 kleiner. Die 10 mehr und die 10 weniger gleichen sich aus. Deshalb bleibt das Ergebnis 500. Die nächste Aufgabe heißt 370 + 130 = 500. Die Summe bleibt aber nur gleich, wenn beide Zahlen um gleich viel verändert werden. Bei 111 mehr und 11 weniger wird sie größer, wie du oben gesehen hast.

Gleichsinnig heißt: Beide Zahlen werden größer, oder beide werden kleiner. Das Ergebnis einer Minusaufgabe heißt Unterschied oder Differenz. In der dritten Tabelle stehen Minusaufgaben. Die 1. Zahl wird jeweils um 10 größer, die 2. Zahl auch. Es sind 10 mehr da, aber du ziehst auch 10 mehr ab. Deshalb bleibt der Unterschied 520. Die nächste Aufgabe heißt 760 - 240 = 520. Bei Plusaufgaben ist das anders: Werden dort beide Zahlen um 10 größer, wird die Summe um 20 größer. Achte deshalb genau auf das Rechenzeichen.

Ein Term ist ein Rechenausdruck, zum Beispiel 24 \cdot 15. Der Punkt ist das Malzeichen. Die Zahlen, die du malnimmst, heißen Faktoren. Das Ergebnis einer Malaufgabe heißt Produkt. Das Gleichheitszeichen = zwischen zwei Termen bedeutet: Links und rechts steht derselbe Wert. Es bedeutet nicht „jetzt kommt der nächste Rechenschritt“.

Halbieren heißt: eine Zahl in zwei gleich große Teile teilen und einen Teil nehmen. Die Hälfte von 24 ist 12. Verdoppeln heißt: die Zahl zweimal nehmen. Das Doppelte von 15 ist 30. Halbierst du bei einer Malaufgabe einen Faktor und verdoppelst den anderen, bleibt das Produkt gleich. Das geht auch umgekehrt: den ersten Faktor verdoppeln und den zweiten halbieren.

Warum ist das so? Stell dir 24 Gruppen mit je 15 Plättchen vor. Daraus machst du 12 Gruppen mit je 30 Plättchen. Jetzt hast du halb so viele Gruppen, aber in jeder Gruppe ist doppelt so viel. Insgesamt bleiben es gleich viele Plättchen: 24 \cdot 15 = 360 und 12 \cdot 30 = 360. Also gilt 24 \cdot 15 = 12 \cdot 30.

Genauso ist es bei 32 \cdot 25 = 16 \cdot 50. Du halbierst die 32 zu 16 und verdoppelst die 25 zu 50. Beide Terme haben den Wert 800. Eine Tauschaufgabe ist hier keine Begründung. Bei einer Tauschaufgabe tauschen die beiden Zahlen nur ihren Platz, zum Beispiel 25 \cdot 32. Hier werden aber aus 32 und 25 ganz neue Zahlen.

Pass auf drei Dinge auf. Erstens: Veränderst du nur einen Faktor, bleibt das Produkt nicht gleich. Zweitens: Halbierst du beide Faktoren, wird das Produkt viel kleiner: 10 \cdot 40 = 400, aber 5 \cdot 20 = 100. Drittens: Die Zahl, die du halbierst, muss gerade sein. Gerade Zahlen kann man ohne Rest durch 2 teilen, zum Beispiel 32. Die 25 ist ungerade. Rundest du ihre Hälfte auf 12 ab und verdoppelst die 32, stimmt es nicht mehr: 64 \cdot 12 = 768, nicht 800.

Ein Zahlenrätsel kann so lauten: Zwei Zahlen ergeben zusammen 100. Ihr Unterschied ist 10. Hier gelten zwei Bedingungen gleichzeitig. Eine Bedingung ist eine Regel, die erfüllt sein muss. Du suchst zwei Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen. Der Unterschied ist die größere Zahl minus die kleinere Zahl.

Geschickt probieren heißt: nicht wild raten, sondern planvoll weiterprobieren. Beginne mit zwei gleich großen Zahlen. Wenn du sie addierst, also plusrechnest, soll die richtige Summe herauskommen. Dann machst du eine Zahl um 1 kleiner und die andere um 1 größer. Die Summe bleibt dabei gleich. Der Unterschied wird mit jedem solchen Schritt um 2 größer. So kommst du gezielt zum gesuchten Unterschied.

In der Tabelle unten suchst du zwei Zahlen mit der Summe 60 und dem Unterschied 10. In jedem Versuch ist die Summe 60. Beim Start sind beide Zahlen gleich groß, der Unterschied ist 0. Nach zwei Schritten ist er 4. Es fehlen noch 6, also gehst du noch 3 Schritte weiter. Probe heißt: Du rechnest nach, ob beide Bedingungen stimmen. Probe: 25 + 35 = 60 und 35 - 25 = 10. Die kleinere Zahl heißt 25, die größere 35.

Beim Rätsel vom Anfang startest du mit 50 und 50. Für den Unterschied 10 brauchst du 5 Schritte, denn 5 \cdot 2 = 10. So kommst du zu 45 und 55. Probe: 45 + 55 = 100 und 55 - 45 = 10. Höre nicht auf, wenn nur die Summe stimmt. Prüfe am Schluss beide Bedingungen und schreibe die kleinere Zahl zuerst.

Manche Rätsel haben eine andere zweite Bedingung, zum Beispiel: Die größere Zahl ist doppelt so groß wie die kleinere. Das heißt: Die größere Zahl ist zweimal die kleinere Zahl. Es heißt nicht „um 2 größer“. Beispiel: Zwei Zahlen ergeben zusammen 90, die größere ist doppelt so groß wie die kleinere. Versuch 40 und 50: Die Summe stimmt, aber 2 \cdot 40 = 80, nicht 50. Versuch 35 und 55: Die Summe stimmt, aber 2 \cdot 35 = 70, nicht 55. Versuch 30 und 60: Die Summe stimmt, und 2 \cdot 30 = 60. Die kleinere Zahl heißt 30, die größere 60.