Obertöne verstehen, berechnen und hören

Wenn eine Gitarre oder eine Stimme einen Ton spielt, hörst du nicht nur einen einzigen, ganz einfachen Ton. Du hörst einen Klang. Ein Klang setzt sich aus mehreren Tönen zusammen, die gleichzeitig erklingen. Diese Bestandteile heißen Teiltöne.

Jeder Teilton schwingt unterschiedlich schnell. Wie oft etwas in einer Sekunde hin und her schwingt, nennt man Frequenz. Man misst sie in Hertz, abgekürzt Hz. 100 Hz bedeutet: 100 Schwingungen in einer Sekunde. Je höher die Frequenz, desto höher klingt ein Ton.

Der tiefste Teilton heißt Grundton. Er bestimmt in der Regel, welche Tonhöhe du hörst. Die höheren Teiltöne heißen Obertöne. Sie klingen neben dem Grundton mit und erzeugen die Klangfarbe. Die Klangfarbe ist das, woran du zum Beispiel eine Flöte von einer Geige unterscheidest, auch wenn beide denselben Ton spielen.

Achtung beim Zählen: Zählst du Teiltöne, zählt der Grundton mit. Er ist der 1. Teilton. Zählst du Obertöne, zählt der Grundton nicht mit. Der 1. Oberton ist deshalb der 2. Teilton, der 2. Oberton der 3. Teilton und so weiter. Manche Bücher benutzen „Oberton“ und „Teilton“ auch als gleichbedeutende Wörter. In dieser Erklärung gilt die Zählweise, bei der der Grundton nur bei den Teiltönen mitzählt.

Bei fast allen natürlichen Musikinstrumenten sind die Frequenzen der Obertöne normalerweise ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Eine Ausnahme sind Schlaginstrumente. Ganzzahlige Vielfache heißt: das 2-fache, das 3-fache, das 4-fache und so weiter. Solche Teiltöne nennt man Harmonische. Die ganze Folge heißt harmonische Teiltonreihe.

Warum ist das so? Schau dir eine Saite an. Bringst du sie zum Schwingen, schwingt sie als ganze Saite. Gleichzeitig schwingt sie auch in Abschnitten: in ihren Hälften, in ihren Dritteln, in ihren Vierteln und so weiter. Die halben Stücke schwingen doppelt so schnell wie die ganze Saite, die Drittel dreimal so schnell, die Viertel viermal so schnell. Die ganze Saite erzeugt den Grundton, die Abschnitte erzeugen die Obertöne.

Daraus folgt eine einfache Regel. Die Frequenz des Grundtons heißt f_1: Das f steht für Frequenz, die kleine 1 für den 1. Teilton. Der Teilton mit der Nummer n hat diese Frequenz:

f_n = n \cdot f_1

Dabei ist n die Teiltonnummer: 1, 2, 3 und so weiter. Suchst du einen Oberton, rechnest du ihn zuerst in einen Teilton um. Der 3. Oberton ist der 4. Teilton, also rechnest du 4 \cdot f_1.

Ein wichtiger Bezugston ist der Kammerton a¹, gesprochen „a eins“. Mit ihm kann man Instrumente stimmen, also ihre Tonhöhe genau einstellen. Er hat die Frequenz 440 Hz. Die kleinen hochgestellten Zahlen bei Tonnamen wie a¹ oder e³ zeigen, in welcher Oktave ein Ton liegt.

Ein Intervall ist der Abstand zwischen zwei Tönen, zum Beispiel eine Oktave oder eine Quinte. Für das Intervall zählt nicht, wie viele Hertz zwei Töne auseinanderliegen. Es zählt das Frequenzverhältnis: Wievielmal so schnell schwingt der höhere Ton wie der tiefere? Man schreibt es zum Beispiel als 2:1, gelesen „2 zu 1“.

Die Oktave hat das Verhältnis 2:1. Der höhere Ton schwingt also doppelt so schnell wie der tiefere. Die Oktave umfasst 12 Halbtonschritte, also 12 Schritte von einer Klaviertaste zur direkt benachbarten, wenn du die schwarzen Tasten mitzählst. Eine Stimmung legt fest, wie hoch jeder Ton eines Instruments genau ist. Anders als die übrigen Intervalle behält die Oktave ihr Verhältnis 2:1 auch in allen temperierten Stimmungen. Temperiert heißt: Man verändert die Intervalle ein wenig, damit ein Instrument in vielen Tonarten passt. Eine Ausnahme ist die Streckung beim Klavierstimmen, bei der Oktaven etwas weiter gestimmt werden.

In der sogenannten reinen Stimmung enthalten Dur- und Molldreiklänge nur reine Quinten mit dem Verhältnis 3:2 und reine Terzen mit den Verhältnissen 5:4 und 6:5. Ein Dreiklang ist ein Akkord aus drei Tönen, zum Beispiel c, e und g.

Die harmonische Teiltonreihe enthält diese Intervalle von selbst. Teilst du die Nummer eines Teiltons durch die Nummer eines anderen, erhältst du ihr Frequenzverhältnis. Beim Kammerton a¹ bilden der 2. und der 3. Teilton mit 880 Hz und 1.320 Hz (die Töne a² und e³) eine Quinte mit 3:2. Der 4. und der 5. Teilton mit 1.760 Hz und 2.200 Hz (die Töne a³ und cis⁴) bilden eine große Terz mit 5:4.

Daran siehst du: Der gleiche Abstand in Hertz kann ein anderes Intervall sein. Von 100 Hz zu 200 Hz sind es 100 Hz Abstand, das Verhältnis ist 2:1, also eine Oktave. Von 500 Hz zu 600 Hz sind es ebenfalls 100 Hz Abstand, aber das Verhältnis ist 6:5, also eine kleine Terz.

Zwei Instrumente können denselben Grundton spielen und klingen trotzdem verschieden. Das liegt vor allem an den Obertönen: Wie stark sie im Vergleich zueinander sind, bestimmt die Klangfarbe. Ein Klang kann zum Beispiel einen kräftigen 2. Teilton und einen ganz schwachen 3. Teilton haben, ein anderer Klang genau umgekehrt. Die Zusammensetzung aus Teiltönen und ihren Stärken nennt man Klangspektrum. Jede Klangquelle hat ihr eigenes, typisches Klangspektrum.

Auch das Mitschwingen spielt eine Rolle. Resonanz heißt: Ein Körper oder ein Hohlraum schwingt bei bestimmten Frequenzen besonders gut mit und verstärkt sie. Bei Stimmen und Instrumenten gibt es typische Frequenzbereiche, in denen die Obertöne durch Resonanz besonders verstärkt werden. Diese Bereiche heißen Formanten. Sie sind vorrangig für die Klangfarbe ausschlaggebend. Ein Formant ist also kein einzelner Ton, sondern ein ganzer Bereich von Frequenzen.

Die Klangfarbe hängt außerdem von der Zeit ab. Besonders wichtig ist das Einschwingverhalten: wie sich das Klangspektrum und die Lautstärke in den ersten Sekundenbruchteilen eines Tons verändern. Schneidet man diese ersten Zehntelsekunden weg, lassen sich einige Instrumente nur noch schwer erkennen. Auch während ein Ton weiterklingt, können sich Lautstärke und Frequenz einzelner Obertöne ändern. Dazu kommen Rauschen und Nebengeräusche, zum Beispiel beim Anschlagen oder Anblasen.

Grundton plus Obertöne mit genau ganzzahligen Vielfachen: Das ist ein Modell, also eine vereinfachte Beschreibung der Wirklichkeit. Bei schwingenden Saiten und bei Blasinstrumenten beschreibt es einen großen Teil des Klangs in guter Näherung, also fast genau. In Wirklichkeit treten aber mehr oder weniger starke Abweichungen von den ganzzahligen Vielfachen auf.

Diese Abweichungen heißen Inharmonizität. Beim Klavier entstehen sie im Wesentlichen durch das Biegemoment der Saite. Gemeint ist: Die Metallsaite ist nicht ganz biegsam, sie wehrt sich gegen das Verbiegen. Besonders die dicken Basssaiten für die tiefen Töne sind davon betroffen. Höhere Obertöne weichen stärker ab als niedrigere. Diese Abweichung gehört sogar zum typischen Klavierklang: Ahmt man ein Klavier künstlich nach und lässt sie weg, klingt die Nachahmung nicht besonders nach Klavier.

Bei manchen angeschlagenen Klangkörpern fallen Teiltöne ganz aus der Reihe, zum Beispiel bei Metallröhren wie Röhrenglocken, bei den Klangstäben eines Xylofons oder Metallofons, bei Platten oder bei Glocken. Ihre Frequenzen haben keine ganzzahligen Verhältnisse zur gehörten Grundfrequenz. Man nennt sie unharmonische Teiltöne. Sie können es schwerer machen, eine bestimmte Tonhöhe zu erkennen, oder einen Ton unsauber klingen lassen. Glocken betonen oft die Terzen sehr stark, und ihre Obertöne sind kompliziert zusammengesetzt.

Dazu kommen Geräusche, die sich gar nicht mit Grundton und harmonischen Obertönen beschreiben lassen: das Anschlaggeräusch bei Saiteninstrumenten, das Anblasgeräusch bei Blasinstrumenten und Orgelpfeifen oder Konsonanten wie „s“ oder „t“ bei der Stimme. Außerdem geht das Modell von lange gleichmäßig klingenden Tönen aus. Bei kurzen Tönen von Zupf- und Schlaginstrumenten, auch beim Klavier, ist diese Voraussetzung nicht einmal ungefähr erfüllt.

Hermann von Helmholtz veröffentlichte 1863 eine mathematische Theorie, die die Klangfarbe durch Obertöne erklärt. Dass Klänge oft komplizierter sind, wusste man aber schon vorher: 1855 schrieb Zamminer in einem Buch über Musikinstrumente, nur die Luftsäulen in geraden Röhren und dünne Stäbe, die ähnlich wie diese Luftsäulen schwingen, hätten eine so einfache harmonische Reihe wie gespannte Saiten. Bei Platten und gespannten Häuten, wie sie zum Beispiel bei Trommeln vorkommen, sei die Menge der Obertöne weit reicher.