Geometrisches Mittel: Formel und Anwendung
Das geometrische Mittel ist der passende Mittelwert für Faktoren und Wachstumsraten. Du lernst Formel und Rechenweg und wie du Häufigkeiten gewichtest.
Kurz gesagt
Das geometrische Mittel von n positiven Werten ist die n-te Wurzel aus ihrem Produkt: \bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}. Du brauchst es, wenn Werte multiplikativ zusammenwirken, etwa bei Wachstumsfaktoren. Beispiel: \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6.
Das geometrische Mittel ist der passende Mittelwert, wenn positive Werte miteinander multipliziert werden, zum Beispiel Wachstumsfaktoren mehrerer Jahre. Du multiplizierst die Werte und ziehst aus dem Produkt die passende Wurzel.
Deine Lernziele
Das arithmetische Mittel passt zu additiven Zusammenhängen: Werte werden addiert, und du vergleichst ihre Unterschiede. Das geometrische Mittel passt zu multiplikativen Zusammenhängen: Werte oder Faktoren werden miteinander multipliziert und über Quotienten verglichen. Typisch sind Wachstumsfaktoren, Zinssätze über mehrere Jahre oder Seitenverhältnisse. Die Formel gilt hier nur für positive Werte. Eine 0 oder ein negativer Wert erfüllt diese Voraussetzung nicht.
Geometrisches Mittel
Für n positive Werte x_1, x_2, \ldots, x_n ist das geometrische Mittel \bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}, also die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte.
Merke: Additive Entwicklung: eher arithmetisches Mittel. Multiplikative Entwicklung: geometrisches Mittel.
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Gehe in drei Schritten vor. Prüfe zuerst, ob alle Werte positiv sind. Multipliziere dann alle n Werte. Ziehe zum Schluss aus dem Produkt die n-te Wurzel. Für zwei positive Längen hat das Ergebnis eine anschauliche Bedeutung: Ein Rechteck mit den Seiten 3 und 12 hat denselben Flächeninhalt wie ein Quadrat mit der Seite 6, denn beide Flächen sind 36 Flächeneinheiten groß. Außerdem gilt immer: Das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.
Beispiel: Das geometrische Mittel von 3 und 12
- 1Zwei Werte, also die Quadratwurzel
- 2\bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6
- 3Von 3 zu 6 und von 6 zu 12 ist es jeweils der Faktor 2.
- 4Vergleich: 6 \le \frac{3 + 12}{2} = 7{,}5
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Prozentsätze multiplizierst du nicht direkt. Wandle jede Veränderung um p % zuerst in einen Wachstumsfaktor um: x = 1 + \frac{p}{100}. Eine Zunahme um 5 % entspricht dem Faktor 1,05, eine Abnahme um 6 % dem Faktor 0,94. Auch ein Faktor unter 1 bleibt positiv. Gesucht ist dann ein konstanter Faktor q, der über alle Zeiträume dieselbe Gesamtwirkung hat.
Beispiel: Zinsen von 2 %, 7 % und 5 % in drei Jahren
- 1Faktoren: 1,02; 1,07; 1,05
- 2Gesamtfaktor: 1,02 · 1,07 · 1,05 = 1,14597
- 3q^3 = 1{,}14597, also q = \sqrt[3]{1{,}14597} \approx 1{,}04646
- 4Mittlerer Zinssatz: (q - 1) \cdot 100\,\% \approx 4{,}646\,\%
- 5Das arithmetische Mittel der Zinssätze, etwa 4,667 %, beschreibt die Wiederanlage nicht exakt.
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Kommt ein Wert mehrfach vor, schreibst du ihn als Potenz. Für positive Werte x_i mit absoluten Häufigkeiten H_i gilt \bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{m} x_i^{H_i}} mit n = \sum_{i=1}^{m} H_i. Die Häufigkeit wird also zum Exponenten, und die Wurzelordnung ist die Gesamtzahl aller Beobachtungen. Bei relativen Häufigkeiten h_i, die zusammen 1 ergeben, gilt \bar{x}_{\mathrm{geom}} = \prod_{i=1}^{m} x_i^{h_i}. Eine zusätzliche Wurzel brauchst du dann nicht, weil die relativen Häufigkeiten schon normierte Gewichte sind.
Beispiel: Der Wert 2 kommt dreimal vor, der Wert 8 einmal
- 1Insgesamt 4 Beobachtungen, also die vierte Wurzel
- 2\bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt[4]{2^3 \cdot 8} = \sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83
- 3Mit der ausgeschriebenen Liste 2; 2; 2; 8 erhältst du dasselbe Ergebnis.
Merke: Beim geometrischen Mittel wird eine Häufigkeit zum Exponenten. Die Wurzelordnung ist die Gesamtzahl aller Beobachtungen.
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Alles auf einen Blick
Geometrisches Mittel
nur positive Werte
die multiplikative Mitte von Werten oder Faktoren
alle n Werte multiplizieren, dann die n-te Wurzel ziehen
Prozentsätze erst in Faktoren 1 + \frac{p}{100} umwandeln
Häufigkeiten werden zu Exponenten
nie größer als das arithmetische Mittel
Mittlere Preisänderung über zwei Jahre
- 1Ein Preis steigt im ersten Jahr um 25 % und fällt im zweiten Jahr um 20 %.
- 2Faktoren: 1,25 und 0,80
- 3Gesamtfaktor: 1,25 · 0,80 = 1
- 4\bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt{1{,}25 \cdot 0{,}80} = \sqrt{1} = 1
- 5Mittlere Änderung: 0 % pro Jahr. Das arithmetische Mittel der Prozentsätze, 2,5 %, wäre falsch.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3In Zeile 3 wurde arithmetisch gemittelt. Richtig ist \sqrt{1{,}43} \approx 1{,}1958, also etwa 19,58 % pro Jahr. Probe: 1{,}20^2 = 1{,}44 ist zu viel.
Lückentext
Das geometrische Mittel passt zu Zusammenhängen. Bei n Werten ziehst du aus dem Produkt die Wurzel. Eine Abnahme um 6 % wird zum Faktor .